제이의 집

만나는 두 원의 방정식을 정의하면 이 둘이 만나는 교점을 지나는 원의 방정식은 아래와 같이 말할 수 있다.▼ ▲이 식의 핵심은 k ≠ -1이라는 것이다. 왜 그런지는 아래에서 후술 하도록 하겠다. 교점을 지나는 원을 그림으로 보면 아래와 같다.▼ ▲검은테두리 두 원이 만나는 교점을 지나는 빨간색깔의 원이 바로 위에서 구한 만나는 두 원의 교점을 지나는 원이다. k ≠ -1 인 이유? 왜 k ≠ -1 이어야 할까? 만약 k = -1 이라면 x², y² 항이 소거가 되어 원의 방정식이 만들어지지 않고 일차항으로만 이루어진 직선의 방정식이 만들어진다. 이 직선의 방정식은 두 원의 교점을 지나는 직선, 즉 공통현의 방정식이다. 자세한 내용은 아래의 글을 참조하도록 하자. 공통현의 방정식에 대하여 알아보자

원 밖의 한 점에서 그은 접선의 방정식을 구하는 방법은 크게 2가지가 있다. 1. 판별식 D를 이용 2. 원의 성질을 이용 두 방법 크게 계산상에 있어서 큰 차이가 없다. 이 차이가 없다는 말은 어떤 방식이 좀 더 계산하기 편리하다는 것에 대한 차이가 없다는 말이다. 자신에게 좀 더 익숙한 방법을 택하면 되겠다. 각 방법들에 대하여 살펴보도록 하자. 1. 판별식 D를 이용 점(2,0)에서 원 x²+y²=1에 그은 접선의 방정식을 구하여 보자. 우선 점(2,0)을 지나고 기울기가 m인 접선의 방정식을 정의하자.▼ 이 접선의 방정식을 x²+y²=1에 대입하고 x에 대하여 정리하자.▼ x에 대하여 정리된 식을 이제 판별식 D를 적용하여 다시 정리하여 그 식을 좀 전의 직선의 방정식에 대입하자.▼ ▲위와 같이 ..

공통현이란? 공통현이란 두 원이 두 점 A, B에서 만날 때 두 원의 교점을 연결한 선분을 말한다. 아래의 그림을 본다면 좀 더 이해가 쉬울 것이다. ▲두 원의 교점 A와 B를 잇는 선분 AB가 바로 공통현이다. ▲두 원의 중심 O, O'를 이은 중심선은 두 원의 공통현을 수직이등분한다. 따라서 위와 같이 말할 수 있다. ▲원의 성질을 조금만 생각하면 두 원의 공통현은 중심선에 의하여 수직이등분 된다는 사실을 증명할 수 있다. 공통현의 방정식 공통현이 무엇인지는 위에서 알아보았다. 그러면 이제 공통현의 방정식에 대하여 알아보자. 두 원의 방정식을 안다면 공통현의 방정식은 아래와 같이 아주 쉽게 구할 수 있다. ▲위와 같이 두 원의 방정식을 서로 빼면 된다. 그러면 이차항이 소거가 되어 일차식 즉, 직선의..

산술평균, 기하평균, 조화평균 산술평균, 기하평균, 조화평균. 이 셋은 유명한 절대부등식으로써 수포자가 아니라면 정말 많이 들어본 단어일 것이고 또 그만큼 많이 쓰이는 내용이다. 절대부등식이니 당연히 부등식 관련 문제에서 많이 나오며, 두 수의 합이나 곱의 최댓값, 최솟값 등을 구하는 경우 많이 쓰인다. 식은 다음과 같다. ▲필자가 한창 수학 공부를 하던 시절에는 조화평균은 거의 접한 적이 없었다. 그렇다고 숙지를 안한건 아니었다. 산술평균과 기하평균은 지겹게 봤을 것이다. 저게 왜 성립을 할 수 있을까? 증명을 해보자. 증명하기 굉장히 많이 나오는 내용이라 뭔가 증명하는 방법도 화려할 것 같은 느낌이 들지만 의외로 간단한 사칙연산을 통하여 손쉽게 증명이 가능하다. ▲위와 같이 식 ①, ②같은 관계를 알..

코시-슈바르츠의 부등식 사람은 죽어서 이름을 남긴다는 말이 있다. 수학자로 불리는 사람들은 공식을 만들어서 이름을 남긴다. 공식의 이름은 그 수학자의 이름으로 불리기 때문이다. 코시-슈바르츠 부등식도 마찬가지다. 코시와 슈바르츠라는 두 사람이 만든 부등식이다. 코시-슈바르츠의 부등식은 아래와 같다. ▲수학을 공부하는 사람은 절대 모르면 안 되는 부등식 중 하나다. 굉장한 응용력을 가진 부등식이기 때문에 거의 전 분야에서 활용이 가능하다고 생각하면 된다. 증명하기 증명하는 방법은 어렵지 않다. 식을 풀어서 전개하면 금방 이해할 수 있다. ▲증명하는 방법 자체는 단순하지만 계산 과정은 이래저래 어렵지는 않아도 좀 귀찮다. 공식을 반드시 암기하도록 하자.

축에 접하는 원의 방정식은 총 3가지로 분류를 할 수 있다. 1. x축에 접하는 원의 방정식 2. y축에 접하는 원의 방정식 3. x축, y축에 접하는 원의 방정식 어려운 내용은 아니다. 조금만 생각을 해보면 굳이 외우지 않더라도 바로 알 수 있는 내용들이다. 지금부터 하나씩 살펴보도록 하자. 1. x축에 접하는 원의 방정식 x축에 접하는 원은 중심의 y좌표의 절대값과 반지름의 길이가 같다. y좌표가 ±b 라면 반지름의 길이는 b다. 정리하면 아래와 같다.▼ 좀 더 알기 쉽게 하나의 원의 방정식을 예로 들어 그래프에 표시해 보자.▼ 2. y축에 접하는 원의 방정식 y축에 접하는 원은 중심의 x좌표의 절대값과 반지름의 길이가 같다. x좌표가 ±a 라면 반지름의 길이는 a다. 정리하면 아래와 같다.▼ 아까랑..

서론 직선에 대한 점의 대칭점은 크게 2가지 경우가 있다. 하나는 기울기가 ±1인 직선에 대한 점의 대칭점. 다른 하나는 기울기가 ±1이 아닌 직선에 대한 점의 대칭점. 대칭점을 구하는 방법 역시 경우에 따라서 차이가 있다. 이번 글에서는 저 2가지 경우의 직선에 대한 점의 대칭점을 구하는 방법에 대하여 알아보자. 1. 기울기가 ±1인 직선에 대한 점의 대칭점 구하기 기울기가 ±1인 직선에 대한 점의 대칭점 구하는 방법은 다음과 같은 한 문장으로 요약이 가능하다. 기울기가 ±1인 직선에 대한 점의 대칭인 점은 주어진 점을 기울기가 ±1인 직선의 방정식에 대입하여 구한다. 자 그럼 이제 구해보도록 하자. ▲위와 같은 직선과 한 점이 주어졌다. 이 점을 위 직선의 x, y에 각각 대입을 하여 구하면 된다. ..

삼각함수의 값의 부호 삼각함수는 각 θ의 크기에 따라 부호가 달라진다.θ가 몇 사분면의 각인지에 따라 삼각함수의 값의 부호가 결정된다. 삼각함수의 값의 부호는 아래와 같이 4개의 문장으로 정리할 수 있다. 1. θ가 제 1사분면의 각이면 모두가 +다. 여기서 모두는 sin, cos, tan, cosec, cot, sec 모두를 말한다. 2. θ가 제 2사분면의 각이면 sin(cosec)만 + 다. 3. θ가 제 3사분면의 각이면 tan(cot)만 + 다. 4. θ가 제 4사분면의 각이면 cos(sec)만 + 다. ▲그림으로 아주 간단하게 표현을 하자면 위와 같다. x좌표, y좌표에 따른 정리 결국 각 θ라는 것은 몇 사분면의 각인가에 따라 점의 x좌표와 y좌표의 부호가 결정된다. 이 내용을 아래의 그림과..

멱급수란? 두 수의 곱이 앞의 수는 등차수열, 뒤의 수는 등비수열로 진행되는 수열을 하나 생각해보자. 이 말이 잘 이해가 되지 않는다면 아래와 같은 예를 들어보자. ▲위 수열은 앞서 말한 것처럼 앞의 수는 등차수열, 뒤의 수는 등비수열로 진행되고 있다. 이러한 형태의 수열의 합을 멱급수라고 한다. 멱급수를 구하는 방법 멱급수를 구하는 방법은 2가지 단계로 정리가 가능하다. 1. 주어진 수열 S에 등비수열의 공비 r를 곱한다. 2. 주어진 수열을 S - rS 꼴로 만들어 합을 구한다. 이 2단계를 거쳐 아래와 같은 수열의 합을 구해보도록 하자. ▲위 수열은 등비수열 부분의 공비가 3이다. 즉 S - 3S를 만들어서 계산하여 정리하자. ▲구하는 방법은 간단하지만 등비수열의 합을 구하는 방법을 알고 있어야 한..

두 구의 내접 두 원이 내접한다는 것은 쉽게 말하면 두 원이 겹쳐져 있는 것을 말한다. 구도 마찬가지다 두 구가 내접한다는 것은 두 구가 겹쳐져 있는 것이다. 그림으로 보자. ▲두 구의 반지름을 각각 r, r'로 두고 두 구의 중심 사이의 거리를 d라고 두자. 그림으로 보면 바로 눈치챌 수 있듯이 두 구의 반지름과 두 구의 중심 사이의 거리는 아래와 같은 관계식이 성립한다. 예시 다음과 같은 식을 가진 두개의 구를 보자.▼ ▲여기서 두 구가 내접하게 하는 a 값을 구해보도록 하자. 반지름을 알고 있고 중심사이의 거리도 구할 수 있으니 두 구가 내접하는 조건을 적용하여 계산하여 정리하자. 간단한 무리 방정식이 만들어지니 제곱을 사용하여 풀도록 하자. ▼ 무리방정식에서 주의할 점은 바로 무연근이다. -7, ..