제이의 집

순환소수란? 순환소수는 무한소수 중 하나로 소수점 아래의 어떤 부분이 반복되는 소수를 말한다. 순환소수의 특징은 아래와 같다. ① 순환소수에서 반복되는 부분을 순환마디라고 한다. ② 순환소수는 반드시 기약분수로 고칠 수 있다. ③ 소수점 아래 첫째 자리부터 순환마디가 시작될 때 순순환소수, 첫째 자리가 아닌 다른 자리부터 순환마디가 시작되는 것을 혼순환소수라고 한다.▼ 순환소수를 기약분수로 고치는 방법은 무한등비급수를 이용하는 방법과 공식에 의한 방법 총 2가지가 있다. 하나하나 알아보도록 하자. 무한등비급수로 순환소수 → 기약분수 순순환소수일 경우 가장 간단한 형태의 무한등비급수로 풀이가 가능하다.▼ 혼순환소수의 경우도 크게 다른 건 없다. 다만 제2항부터 무한등비급수가 적용이 되니 첫째항 값만 따로 ..

삼각함수 제곱 공식 삼각함수에서 삼각함수 제곱 공식은 아마도 가장 많이 쓰이는 공식이 아닐까 싶다. 삼각함수 제곱 공식은 다음과 같다.▼ ▲아마 첫 번째에 적혀 있는 sin²x + cos²x = 1은 아마 수학 공부를 하면서 가장 많이 쓰이는 공식 중 하나일 것이다. 이거 하나만 기억하고 있다면 나머지 공식들도 자연스럽게 유도가 된다. 공식 증명하기 공식을 증명하는 방법은 어렵지 않다. 피타고라스의 정리를 활용하면 손쉽게 증명이 가능하다. 아래와 같은 직각삼각형을 예시로 들어보자. ▼ ▲위에서 확인할 수 있듯이 주어진 직각삼각형에서 sin⁡θ = a/c, cosθ = b/c로 말을 할 수 있다. 직각삼각형이기 때문에 위와 같이 피타고라스의 정리가 성립한다는 사실을 가지고 오자.▼ 피타고라스의 정리를 적용..

삼각함수 반각 공식 반각 공식은 필자가 공부하던 시절 가장 많이 사용한 공식이 아닐까 싶다. 예전 글에서도 언급을 하였지만 필자가 생각하는 공식의 의의는 복잡한 계산을 간단하게 하는 것에 있다. 그 의의와 어울리는 공식이 바로 삼각함수 반각 공식이 아닐까 싶다. 반각 공식은 아래와 같다. ▼ ▲이 반각 공식이 가지는 가장 큰 의의는 바로 식의 차수를 낮춤으로써 계산식을 간단하게 나타내는 것이다. 이차식이 일차식으로 낮춰지기 때문에 좀 더 편리한 계산이 가능하다. 증명하는 방법 반각 공식은 배각 공식으로 유도할 수 있다. 기존 배각 공식에서 𝜶 대신 𝜶/2를 대입하여 정리하면 3가지의 반각 공식 전부를 유도할 수 있다. 배각 공식으로 유도하는 것이니 당연히 배각 공식이 뭔지를 알아야 한다. 배각 공식이 뭔..

삼각함수 관련 공식의 특징 삼각함수에는 여러 가지 공식이 있다. 거의 뭐 대부분의 공식이 복잡한 계산을 간단하게 하기 위해 존재하듯, 삼각함수 관련 공식 또한 그러한 목적으로 존재한다. 차이점이 있다면 삼각함수 관련 공식은 눈에 잘 들어오지 않는다는 것이다. 그 이유는 학교에서 삼각함수라는 개념을 접하는 시점이 그리 어린 나이가 아니기 때문에 우리에게 익숙하지 않기 때문이다. 따라서 삼각함수 관련 공식은 무조건 철저하게 외워야 한다. 이번 글에서는 삼각함수 관련 공식 중 하나인 배각의 공식에 대하여 알아보도록 하자. 배각 공식 배각 공식은 sin, cos, tan마다 하나씩 총 3가지가 있다. ▲복잡한 삼각함수 관련 식 가운데서도 배각 공식은 그나마 외우기가 쉬운 공식이다. 정말 구구단처럼 쓰이는 식들이..

삼각함수에는 여러 가지 공식이 있다. 이번 글에서는 그 많은 공식 중 하나인 3배각의 공식에 대하여 알아보도록 하자. 3배각의 공식 3배각의 공식은 3가지가 있다. ▼ 그리 어려운 내용은 아니지만 이 공식을 외우지 않을 경우 문제를 푸는 데 있어서 상당한 시간을 잡아먹거나, 아예 문제를 푸는 것 자체가 어려운 경우가 있다. 그러니 반드시 외우도록 하자. 3배각의 공식 유도하기 3배각의 공식을 유도하기 위해서는 삼각함수의 덧셈 정리에 대한 내용이 선행학습이 되어야 한다. 삼각함수 덧셈정리에 대한 내용은 아래의 글을 참조하도록 하자. 삼각함수의 덧셈정리와 증명하기 삼각함수의 덧셈정리와 증명하기 삼각함수의 덧셈정리란? 삼각함수의 덧셈정리... 상당히 많이 활용되는 공식이다. sin, cos, tan에 대하여 ..

분수함수의 역함수 분수함수의 역함수를 구하는 방법은 2가지가 있다. 첫 번째는 바로 분수함수의 역함수 공식을 이용하는 방법이다. 공식은 아래와 같다.▼ 보면 알겠지만 b, c의 부호와 위치만 바뀐 형태로 아주 간단하다. 따라서 분수함수의 역함수를 구할 시 공식을 사용하는 것이 당연하게 권장된다. 두 번째는 일반적으로 역함수를 구하는 방법, 즉 함수 식에서 x 대신에 y를 넣고 y 대신에 x를 넣어 정리하는 방법이다. 이 일반적인 방법이 바로 분수함수의 역함수 구하는 공식을 증명하는 방법이다. 증명하기 위에서 언급을 하였듯 y대신에 x를 넣고 x대신에 y를 넣어 역함수를 구하는 방법이 공식을 증명하는 과정이다. 정리하면 아래와 같다.▼ ▲공식과 같은 형태를 구할 수 있다. 숫자가 간단하다면 상관이 없지만 ..

산술평균, 기하평균, 조화평균 산술평균, 기하평균, 조화평균. 이 셋은 유명한 절대부등식으로써 수포자가 아니라면 정말 많이 들어본 단어일 것이고 또 그만큼 많이 쓰이는 내용이다. 절대부등식이니 당연히 부등식 관련 문제에서 많이 나오며, 두 수의 합이나 곱의 최댓값, 최솟값 등을 구하는 경우 많이 쓰인다. 식은 다음과 같다. ▲필자가 한창 수학 공부를 하던 시절에는 조화평균은 거의 접한 적이 없었다. 그렇다고 숙지를 안한건 아니었다. 산술평균과 기하평균은 지겹게 봤을 것이다. 저게 왜 성립을 할 수 있을까? 증명을 해보자. 증명하기 굉장히 많이 나오는 내용이라 뭔가 증명하는 방법도 화려할 것 같은 느낌이 들지만 의외로 간단한 사칙연산을 통하여 손쉽게 증명이 가능하다. ▲위와 같이 식 ①, ②같은 관계를 알..

코시-슈바르츠의 부등식 사람은 죽어서 이름을 남긴다는 말이 있다. 수학자로 불리는 사람들은 공식을 만들어서 이름을 남긴다. 공식의 이름은 그 수학자의 이름으로 불리기 때문이다. 코시-슈바르츠 부등식도 마찬가지다. 코시와 슈바르츠라는 두 사람이 만든 부등식이다. 코시-슈바르츠의 부등식은 아래와 같다. ▲수학을 공부하는 사람은 절대 모르면 안 되는 부등식 중 하나다. 굉장한 응용력을 가진 부등식이기 때문에 거의 전 분야에서 활용이 가능하다고 생각하면 된다. 증명하기 증명하는 방법은 어렵지 않다. 식을 풀어서 전개하면 금방 이해할 수 있다. ▲증명하는 방법 자체는 단순하지만 계산 과정은 이래저래 어렵지는 않아도 좀 귀찮다. 공식을 반드시 암기하도록 하자.

두 구의 내접 두 원이 내접한다는 것은 쉽게 말하면 두 원이 겹쳐져 있는 것을 말한다. 구도 마찬가지다 두 구가 내접한다는 것은 두 구가 겹쳐져 있는 것이다. 그림으로 보자. ▲두 구의 반지름을 각각 r, r'로 두고 두 구의 중심 사이의 거리를 d라고 두자. 그림으로 보면 바로 눈치챌 수 있듯이 두 구의 반지름과 두 구의 중심 사이의 거리는 아래와 같은 관계식이 성립한다. 예시 다음과 같은 식을 가진 두개의 구를 보자.▼ ▲여기서 두 구가 내접하게 하는 a 값을 구해보도록 하자. 반지름을 알고 있고 중심사이의 거리도 구할 수 있으니 두 구가 내접하는 조건을 적용하여 계산하여 정리하자. 간단한 무리 방정식이 만들어지니 제곱을 사용하여 풀도록 하자. ▼ 무리방정식에서 주의할 점은 바로 무연근이다. -7, ..

삼각형의 무게중심 공식 삼각형의 무게중심의 정의는 간단명료하게 말하자면 삼각형의 세 중선의 교점을 말한다. 무게중심의 핵심적인 성질은 각 중선을 꼭지점으로부터 2 : 1로 내분한다는 것이다. 삼각형의 세 점을 A(x₁, y₁), B(x₂, y₂), C(x₃, y₃)라고 한다면 삼각형 ABC의 무게중심 G의 좌표를 아래와 같이 표현을 할 수 있다. ▲공식은 굉장히 쉽고 간단하다. 암기 난이도는 한 번만 스쳐가듯이 봐도 기억을 할 수 있는 정도다. 이번에는 이 공식이 과연 어떻게 나오는 것인지 증명을 해보도록 하자. 무게중심 증명하는 방법 증명하는 방법은 어렵지는 않으나 이래저래 귀찮은 계산이 좀 있다. 그러니 그냥 이런 거구나 정도로 생각하도록 하자. 삼각형의 세 점을 A(x₁,y₁), B(x₂, y₂),..