제이의 집

순환소수란? 순환소수는 무한소수 중 하나로 소수점 아래의 어떤 부분이 반복되는 소수를 말한다. 순환소수의 특징은 아래와 같다. ① 순환소수에서 반복되는 부분을 순환마디라고 한다. ② 순환소수는 반드시 기약분수로 고칠 수 있다. ③ 소수점 아래 첫째 자리부터 순환마디가 시작될 때 순순환소수, 첫째 자리가 아닌 다른 자리부터 순환마디가 시작되는 것을 혼순환소수라고 한다.▼ 순환소수를 기약분수로 고치는 방법은 무한등비급수를 이용하는 방법과 공식에 의한 방법 총 2가지가 있다. 하나하나 알아보도록 하자. 무한등비급수로 순환소수 → 기약분수 순순환소수일 경우 가장 간단한 형태의 무한등비급수로 풀이가 가능하다.▼ 혼순환소수의 경우도 크게 다른 건 없다. 다만 제2항부터 무한등비급수가 적용이 되니 첫째항 값만 따로 ..

로그함수란? 지수함수 y = ax (a ≠ 1, a > 0) 에서 로그의 정의로부터 x = logay, 여기서 x와 y를 바꾸면 y = logax (a ≠ 1, a > 0) 로 지수함수 y = ax의 역함수가 된다. 이 때 이 함수를 a를 밑으로 하는 x의 로그함수라고 한다. 로그함수 그래프의 성질 y = logax의 그래프는 지수함수 그래프와 마찬가지로 a > 1 인 경우와 0 < a < 1인 경우 2가지로 나누어 생각할 수 있다. 우선 이 2가지 경우를 그래프로 그려내면 아래와 같다.▼ 로그함수 그래프는 아래와 같은 성질을 가지고 있다. 1. 정의역은 양의 실수 전체의 집합이고, 치역은 실수 전체의 집합이다. 2. 그래프는 점 (1, 0), (a, 1)을 지나고 y축(x = 0)을 점근선으로 한다. ..

k의 값에 관계없이? 우선, k에 값에 관계없이라는 말의 의미를 알아보자. 아마 문제 풀면서 많이 본 문장일 것이다. k의 값에 관계가 없다는 말은 k에 뭘 집어넣어도 똑같은 결과가 나온다는 말이다. 즉, 이것은 k에 대한 항등식이 성립한다는 말이다. 정리하면 k의 값에 관계없이~문제 → k의 대한 항등식으로 식을 고쳐서 해결. ▼ 상당히 중요한 개념이며, 이를 응용하는 문제도 상당히 많이 나오는 편이기 때문에 무조건 알고 있어야 한다. 이 개념을 바탕으로 직선이 k의 값에 관계없이 항상 일정한 점을 지날 경우 좌표 구하는 방법에 대하여 알아보자. 직선이 k의 값에 관계없이 항상 일정한 점을 지날 경우 정점의 좌표 구하기 아래와 같이 k가 포함되어 있는 직선의 방정식을 예로 들어보자.▼ 앞서 언급하였듯 ..

포물선과 직선의 위치 관계는 3가지로 말할 수 있다. 두 점에서 만나는 경우, 접하는 경우, 만나지 않는 경우. 위치 관계를 파악하는 방법에 대하여 알아보도록 하자. 직선 : y = mx + n (m ≠ 0) 포물선 : y2 = 4px 직선식을 포물선 식에 대입하여 정리하면 m2x2 + 2(mn - 2p)x + n2 = 0 이라는 x에 대한 이차방정식이 된다. 이 이차방정식의 해가 바로 직선과 포물선이 만나는 점이다. 따라서 판별식 D를 사용하여 포물선과 직선의 위치 관계를 알 수 있다.▼ 이차함수 그래프와 직선의 관계를 구하는 방법과 같다는 것을 알 수 있다. 당연하다. 포물선도 이차함수니까. ※ 함께 읽기 이차함수의 그래프와 직선의 위치 관계 판별식 D에 대하여 알아보자. 근의 공식 및 유도하기 이차..

필자의 소망 필자는 많은 소망이 있다. 그 소망 중 하나는 바로 로또복권 당첨이다. 그래서 자주는 아니지만 가끔씩 로또복권을 산다. 물론 1등이 된 적은 없지만..... 하지만 나는 아직도 믿고 있다. 언젠가는 당첨이 될 거라고!!!!!! 하지만 현실적으로 로또복권 1등 당첨확률은 굉장히 낮다. 도대체 얼마나 낮은 것일까? 고등학교 수학 과정을 배웠다면 간단한 식으로 계산을 할 수 있다. 로또복권 1등 당첨확률 계산하기 로또는 1에서 45의 숫자에서 순서에 상관없이 6개의 숫자를 골라 맞추는 복권이다. 그러면 여기서 우리는 한 가지 수학적인 내용을 가져와보자 서로 다른 n개에서 순서를 생각하지 않고 r개를 뽑는 것을 n개에서 r개를 택하는 조합이라고 한다. 이것을 로또에 적용을 시켜 정리하면, 서로 다른..

지수법칙 a ≠ 0, b ≠ 0이고 m , n이 정수일 때 크게 4가지 지수법칙이 존재한다.▼ ▲사실 위 내용에 대해 특별히 왜 이럴까라는 궁금증을 가져본 적은 없을 것이다. 왜냐하면 저 내용들은 정말 너무나도 당연한 것들이라고 여겨지기 때문이고 또 실제로 정말 당연한 것들이다. 거의 뭐 구구단급 당연함이다. 하지만 당연한 것들도 논리적으로 증명을 하는 방법이 있다. 이번 글에서 한 번 증명을 해보고자 한다. 증명하기 하나하나 증명해보도록 하자. 모든 지수법칙은 복잡하고 어려운 내용 없이 간단한 논리로 단순하고 명쾌하게 증명이 가능하다. ① ambn = am + n 풀어서 쓰면 am × an = (a × a × a × ⋯ × a) × (a × a ×⋯× a)이다. a를 m번 곱한 것에서 a를 n번 곱한 ..

무리함수의 역함수 공식 이번 글에서는 무리함수의 역함수를 구하는 방법에 대하여 알아보도록 하겠다. 무리함수의 역함수를 구하는 공식이 따로 있다. 공식은 아래와 같다. ▼ ▲외우기 그렇게 까다로운 공식은 아니다. 무리함수 꼴은 수학을 공부함에 있어서 꽤 자주 볼 것이니 반드시 기억해야 한다. 증명하기 증명 중 상당수는 계산 자체의 복잡함을 떠나 생각의 과정이 굉장히 간단하고 단순한 경우가 많다. 이 무리함수의 역함수 공식을 증명하는 것도 그 간단하고 단순한 경우의 예가 된다. 복잡한 생각이 필요가 없다. 그냥 풀어서 써서 정리하면 무리함수의 역함수 증명은 끝이 난다. ▲기본적으로 우리가 생각하는 역함수를 구하는 방법의 논리를 무리함수에 그대로 적용시켜 푼 것을 간단한 식으로 정리한 것이다. 그러나 논리가 ..

부등식의 기본 성질을 알아보기 전에 부등식이 무엇인지부터 간단하게 설명하겠다. 사실 수포자라 해도 부등식이 무엇인지 모를리는 없을 것이라고 생각은 하지만.... 1. 부등식이란? 부등식은 두 수 또는 두 식의 대소 관계를 나타낸 식을 말한다. >, 5, x² ≥ 0 등 여러 가지 형태로 존재한다. 그리고 이 부등식도 크게 2가지로 나누어 진다. 바로 절대부등식과 조건부등식이다. ① 절대부등식 x² + 3 > 0 와 같은 부등식은 x의 어떤 실수값에 대해서도 항상 성립한다. 이와 같이 부등식 중 문자에 어떤 실수값을 대입하더라도 항상 성립하는 부등식을 절대부등식이라고 말한다. x² + 3의 경우 x²은 무조건 0보다 크거나 같기 때문에 x² + 3 > 0 은 절대부등식이라고 말할 수 있다. ② 조건부등식 ..

삼각함수 제곱 공식 삼각함수에서 삼각함수 제곱 공식은 아마도 가장 많이 쓰이는 공식이 아닐까 싶다. 삼각함수 제곱 공식은 다음과 같다.▼ ▲아마 첫 번째에 적혀 있는 sin²x + cos²x = 1은 아마 수학 공부를 하면서 가장 많이 쓰이는 공식 중 하나일 것이다. 이거 하나만 기억하고 있다면 나머지 공식들도 자연스럽게 유도가 된다. 공식 증명하기 공식을 증명하는 방법은 어렵지 않다. 피타고라스의 정리를 활용하면 손쉽게 증명이 가능하다. 아래와 같은 직각삼각형을 예시로 들어보자. ▼ ▲위에서 확인할 수 있듯이 주어진 직각삼각형에서 sin⁡θ = a/c, cosθ = b/c로 말을 할 수 있다. 직각삼각형이기 때문에 위와 같이 피타고라스의 정리가 성립한다는 사실을 가지고 오자.▼ 피타고라스의 정리를 적용..

삼각함수 반각 공식 반각 공식은 필자가 공부하던 시절 가장 많이 사용한 공식이 아닐까 싶다. 예전 글에서도 언급을 하였지만 필자가 생각하는 공식의 의의는 복잡한 계산을 간단하게 하는 것에 있다. 그 의의와 어울리는 공식이 바로 삼각함수 반각 공식이 아닐까 싶다. 반각 공식은 아래와 같다. ▼ ▲이 반각 공식이 가지는 가장 큰 의의는 바로 식의 차수를 낮춤으로써 계산식을 간단하게 나타내는 것이다. 이차식이 일차식으로 낮춰지기 때문에 좀 더 편리한 계산이 가능하다. 증명하는 방법 반각 공식은 배각 공식으로 유도할 수 있다. 기존 배각 공식에서 𝜶 대신 𝜶/2를 대입하여 정리하면 3가지의 반각 공식 전부를 유도할 수 있다. 배각 공식으로 유도하는 것이니 당연히 배각 공식이 뭔지를 알아야 한다. 배각 공식이 뭔..