제이의 집

삼각함수 관련 공식의 특징 삼각함수에는 여러 가지 공식이 있다. 거의 뭐 대부분의 공식이 복잡한 계산을 간단하게 하기 위해 존재하듯, 삼각함수 관련 공식 또한 그러한 목적으로 존재한다. 차이점이 있다면 삼각함수 관련 공식은 눈에 잘 들어오지 않는다는 것이다. 그 이유는 학교에서 삼각함수라는 개념을 접하는 시점이 그리 어린 나이가 아니기 때문에 우리에게 익숙하지 않기 때문이다. 따라서 삼각함수 관련 공식은 무조건 철저하게 외워야 한다. 이번 글에서는 삼각함수 관련 공식 중 하나인 배각의 공식에 대하여 알아보도록 하자. 배각 공식 배각 공식은 sin, cos, tan마다 하나씩 총 3가지가 있다. ▲복잡한 삼각함수 관련 식 가운데서도 배각 공식은 그나마 외우기가 쉬운 공식이다. 정말 구구단처럼 쓰이는 식들이..

제목은 뭔가 그럴 듯 하지만 기본적인 개념의 간단한 응용이다. 이차함수 y = ax2 + bx + c의 그래프와 직선 y = mx + n의 교점의 x좌표는... ax2 + bx + c = mx + n, → ax2 + (b - m)x + c - n = 0 의 해와 같다. 이 역시 이차방정식이기 때문에 실근의 개수는 판별식의 부호에 따라 결정된다. 즉, 판별식 D로 이차함수의 그래프와 직선의 교점의 개수를 알 수 있다는 것이다. 판별식 D를 이용한 이차함수의 그래프와 직선의 위치관계 위에서 y = ax2 + bx +c의 그래프와 직선 y = mx + n의 교점의 좌표는 ax2 + bx + c = mx + n, → ax2 + (b - m)x + c - n = 0 의 해와 같다는 언급을 하였다. 따라서 ax2 ..

삼각함수에는 여러 가지 공식이 있다. 이번 글에서는 그 많은 공식 중 하나인 3배각의 공식에 대하여 알아보도록 하자. 3배각의 공식 3배각의 공식은 3가지가 있다. ▼ 그리 어려운 내용은 아니지만 이 공식을 외우지 않을 경우 문제를 푸는 데 있어서 상당한 시간을 잡아먹거나, 아예 문제를 푸는 것 자체가 어려운 경우가 있다. 그러니 반드시 외우도록 하자. 3배각의 공식 유도하기 3배각의 공식을 유도하기 위해서는 삼각함수의 덧셈 정리에 대한 내용이 선행학습이 되어야 한다. 삼각함수 덧셈정리에 대한 내용은 아래의 글을 참조하도록 하자. 삼각함수의 덧셈정리와 증명하기 삼각함수의 덧셈정리와 증명하기 삼각함수의 덧셈정리란? 삼각함수의 덧셈정리... 상당히 많이 활용되는 공식이다. sin, cos, tan에 대하여 ..

조화수열이란? 어떠한 수열 이 있을 때, 그 수열의 각 항의 역수의 수열이 등차수열을 이루는 경우, 그 어떠한 수열을 바로 조화수열이라고 부른다. 말만 들어서는 무슨 소린가 싶기도 할 수 있다. 아래의 식을 보면 이해가 쉬울 것이다. ▲조화수열은 약자로 H.P(Harmonic Progression)로 나타내기도 한다. 조화수열의 일반항 조화수열의 일반항은 등차수열의 일반항의 역수이다.▼ 위 식을 an을 중심으로 고치면 아래와 같이 일반항의 공식으로 나타낼 수 있다.▼ 조화중항 세 수 a, b, c가 이 순서로 조화수열을 이룬다면, b를 a, c의 조화중항이라고 하며, 아래와 같은 식으로 나타낼 수 있다.▼ 유도하는 것은 간단하다. 그냥 직접 풀어서 써보면 된다.▼ 내가 공부하던 시절에는 조화수열 자체가 ..

미정계수법이란? 미정계수법이란 항등식의 성질을 이용하여 결정되지 않는 계수의 값을 정하는 방법을 말한다. 그럼 여기서 항등식의 성질이 무엇인지 잠시 살펴보도록 하자. 항등식의 성질 다음 등식이 x에 대한 항등식일 때, 아래와 같이 표현할 수 있다.▼ ▲수학에 있어서 뭔가 당연한 것 같지만 굉장히 중요한 개념이니 무조건 기억해야 한다. 아무튼 이 내용을 바탕으로 미정계수법의 2가지 방법에 대하여 알아보자. 1. 계수비교법 항등식 양변에 있는 같은 차수의 항의 계수는 서로 같으므로 이 성질을 이용하여 양변의 계수를 비교하여 결정하는 방법을 말한다. 식을 내림차순으로 전개한 다음 양변의 계수를 비교하면 된다. a(x - 2) + b(x - 4) = x라는 식이 x에 대한 항등식이 되도록 실수 a, b의 값을 ..

계수가 실수인 이차방정식 ax2 + bx + c(a > 1)에서 근의 부호는 두 근이 모두 양수, 두 근이 모두 음수, 두근이 서로 다른 부호로 총 3가지의 경우가 있다. 두 근의 부호에 대한 내용을 정리하여 보자. 두 근이 모두 양수일 조건 두 근을 α, β 라고 할 때 두 근이 양수일 조건은 다음과 같다.▼ 두 근이 모두 양수일 때 그래프는 아래와 같이 나타낼 수 있다.▼ ▲그림에서 알 수 있듯 이차벙정식의 두 근이 모두 양수일 조건은 α + β > 0, αβ > 0이고 D ≥ 0의 공통 범위가 된다. 두 근이 모두 음수일 조건 두 근을 α, β 라고 할 때 두 근이 음수일 조건은 다음과 같다.▼ 두 근이 모두 음수일 때, 그래프는 아래와 같이 말할 수 있다.▼ ▲이차방정식의 두 근이 모두 음수일 조..

분수함수의 역함수 분수함수의 역함수를 구하는 방법은 2가지가 있다. 첫 번째는 바로 분수함수의 역함수 공식을 이용하는 방법이다. 공식은 아래와 같다.▼ 보면 알겠지만 b, c의 부호와 위치만 바뀐 형태로 아주 간단하다. 따라서 분수함수의 역함수를 구할 시 공식을 사용하는 것이 당연하게 권장된다. 두 번째는 일반적으로 역함수를 구하는 방법, 즉 함수 식에서 x 대신에 y를 넣고 y 대신에 x를 넣어 정리하는 방법이다. 이 일반적인 방법이 바로 분수함수의 역함수 구하는 공식을 증명하는 방법이다. 증명하기 위에서 언급을 하였듯 y대신에 x를 넣고 x대신에 y를 넣어 역함수를 구하는 방법이 공식을 증명하는 과정이다. 정리하면 아래와 같다.▼ ▲공식과 같은 형태를 구할 수 있다. 숫자가 간단하다면 상관이 없지만 ..

방정식 ax=b가 있을 때 2가지 경우를 생각할 수 있다. 바로 a가 0이 아닐 때와 0일 경우다. 1. a ≠ 0 일 경우 이 경우에 x는 b/a로 단 하나의 근이 존재한다. 2. a = 0 일 경우 이 경우에서 또다시 2가지를 생각할 수 있다. b가 0이 아닐 경우와 b가 0일 경우다. 이번 글에서는 이 2가지 경우에 대하여 알아보도록 하자. 부정과 불능 a = 0일 경우는 b의 값에 따라 부정과 불능으로 나눌 수 있다. 부정과 불능이란 뭘까? 다시 ax = b 식을 가져와서 생각해 보자. 불능이란? 0 ∙ x = b (b ≠ 0)에서 0에 어떤 값을 곱해도 0이므로 0에 어떤 값 x를 곱해서 b가 되는 것은 불가능하다. 이 경우를 불능이라고 한다. 부정이란? 0 ∙ x = 0 에서 0에 어떤 값을 ..

지수함수란? a가 1인 아닌 양수일 때, 실수 x에 ax을 대응시키는 함수를 지수함수라고 한다. 표현하면 y=ax (a ≠ 1, a > 0) 이것을 a를 밑으로 하는 지수함수라고 한다. 지수함수 그래프의 성질 y=ax는 a > 1인 경우와 0 1일 때, x의 값이 증가하면 y의 값은 증가한다. 반면 0 < a < 1일 때, x의 값이 증가하면 y값은 감소한다. 이 사실은 위 그래프..

절대값 기호가 있는 그래프 그리기 일반적으로 절대값 기호가 있는 함수의 그래프는 절대값 기호 안이 0이 되는 x의 값을 경계로 구간을 나누어 그린다.▼ 그리고 절대값 기호가 있는 그래프는 아래와 같은 절차를 밟아서 그려진다. 1. 절대값 안을 0으로 하는 x의 값을 구한다. 2. 구한 x의 값을 경계로 그 값보다 클 때와 작을 때로 구분. 3. 범위에 적합하도록 그래프를 그린다. 이 절차에 따라 그려진 그래프의 예시를 살펴보도록 하자. 절대값 함수 그래프의 예시 f(x) = x - 4 라고 두고 4가지 절대값 함수 그래프에 대하여 알아보자. 1. y = |f(x)| = |x - 4| x ≥ 4일 때, |f(x)| = x - 4, x