이차방정식의 실근의 부호 조건 및 그래프

계수가 실수인 이차방정식 ax² + bx + c(a > 1)에서 근의 부호는 두 근이 모두 양수, 두 근이 모두 음수, 두근이 서로 다른 부호로 총 3가지의 경우가 있다. 두 근의 부호에 대한 내용을 정리하여 보자.

 

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두 근이 모두 양수일 조건

두 근을 α, β 라고 할 때 두 근이 양수일 조건은 다음과 같다.▼

 

 

 

 

두 근이 모두 양수일 때 그래프는 아래와 같이 나타낼 수 있다.▼

▲그림에서 알 수 있듯 이차벙정식의 두 근이 모두 양수일 조건은 α + β > 0, αβ > 0이고 D ≥ 0의 공통 범위가 된다.

 

 

 

 

두 근이 모두 음수일 조건

두 근을 α, β 라고 할 때 두 근이 음수일 조건은 다음과 같다.▼

 

 

 

 

두 근이 모두 음수일 때, 그래프는 아래와 같이 말할 수 있다.▼

▲이차방정식의 두 근이 모두 음수일 조건은 α + β < 0, αβ > 0이고 D ≥ 0의 공통 범위가 된다.

 

 

 

 

두 근이 서로 다른 부호일 조건

앞 서 두근이 모두 양수일 조건과 음수일 조건과는 다르게 두 근이 서로 다른 부호일 조건은 간단하다.▼

▲이렇게 간단한 이유는 그래프로 그려보면 알 수 있다.

 

 

 

 

▲위의 두 가지의 그래프의 경우 어떠한 경우에도 αβ < 0 이다. 반면에 α + β 의 경우 왼쪽의 그래프는 0보다 크고 오른쪽의 그래프는 0보다 작음으로 일정하지 않다. 따라서 두 근이 서로 다른 부호일 조건은 αβ < 0 이다. 판별식에 대한 조건이 없는 이유는 αβ < 0 일 때 D > 0 이 항상 성립하기 때문이다. 따라서 αβ의 부호만 따지면 된다.