제이의 집

로그함수란? 지수함수 y = ax (a ≠ 1, a > 0) 에서 로그의 정의로부터 x = logay, 여기서 x와 y를 바꾸면 y = logax (a ≠ 1, a > 0) 로 지수함수 y = ax의 역함수가 된다. 이 때 이 함수를 a를 밑으로 하는 x의 로그함수라고 한다. 로그함수 그래프의 성질 y = logax의 그래프는 지수함수 그래프와 마찬가지로 a > 1 인 경우와 0 < a < 1인 경우 2가지로 나누어 생각할 수 있다. 우선 이 2가지 경우를 그래프로 그려내면 아래와 같다.▼ 로그함수 그래프는 아래와 같은 성질을 가지고 있다. 1. 정의역은 양의 실수 전체의 집합이고, 치역은 실수 전체의 집합이다. 2. 그래프는 점 (1, 0), (a, 1)을 지나고 y축(x = 0)을 점근선으로 한다. ..

k의 값에 관계없이? 우선, k에 값에 관계없이라는 말의 의미를 알아보자. 아마 문제 풀면서 많이 본 문장일 것이다. k의 값에 관계가 없다는 말은 k에 뭘 집어넣어도 똑같은 결과가 나온다는 말이다. 즉, 이것은 k에 대한 항등식이 성립한다는 말이다. 정리하면 k의 값에 관계없이~문제 → k의 대한 항등식으로 식을 고쳐서 해결. ▼ 상당히 중요한 개념이며, 이를 응용하는 문제도 상당히 많이 나오는 편이기 때문에 무조건 알고 있어야 한다. 이 개념을 바탕으로 직선이 k의 값에 관계없이 항상 일정한 점을 지날 경우 좌표 구하는 방법에 대하여 알아보자. 직선이 k의 값에 관계없이 항상 일정한 점을 지날 경우 정점의 좌표 구하기 아래와 같이 k가 포함되어 있는 직선의 방정식을 예로 들어보자.▼ 앞서 언급하였듯 ..

지수법칙 a ≠ 0, b ≠ 0이고 m , n이 정수일 때 크게 4가지 지수법칙이 존재한다.▼ ▲사실 위 내용에 대해 특별히 왜 이럴까라는 궁금증을 가져본 적은 없을 것이다. 왜냐하면 저 내용들은 정말 너무나도 당연한 것들이라고 여겨지기 때문이고 또 실제로 정말 당연한 것들이다. 거의 뭐 구구단급 당연함이다. 하지만 당연한 것들도 논리적으로 증명을 하는 방법이 있다. 이번 글에서 한 번 증명을 해보고자 한다. 증명하기 하나하나 증명해보도록 하자. 모든 지수법칙은 복잡하고 어려운 내용 없이 간단한 논리로 단순하고 명쾌하게 증명이 가능하다. ① ambn = am + n 풀어서 쓰면 am × an = (a × a × a × ⋯ × a) × (a × a ×⋯× a)이다. a를 m번 곱한 것에서 a를 n번 곱한 ..

무리함수의 역함수 공식 이번 글에서는 무리함수의 역함수를 구하는 방법에 대하여 알아보도록 하겠다. 무리함수의 역함수를 구하는 공식이 따로 있다. 공식은 아래와 같다. ▼ ▲외우기 그렇게 까다로운 공식은 아니다. 무리함수 꼴은 수학을 공부함에 있어서 꽤 자주 볼 것이니 반드시 기억해야 한다. 증명하기 증명 중 상당수는 계산 자체의 복잡함을 떠나 생각의 과정이 굉장히 간단하고 단순한 경우가 많다. 이 무리함수의 역함수 공식을 증명하는 것도 그 간단하고 단순한 경우의 예가 된다. 복잡한 생각이 필요가 없다. 그냥 풀어서 써서 정리하면 무리함수의 역함수 증명은 끝이 난다. ▲기본적으로 우리가 생각하는 역함수를 구하는 방법의 논리를 무리함수에 그대로 적용시켜 푼 것을 간단한 식으로 정리한 것이다. 그러나 논리가 ..

부등식의 기본 성질을 알아보기 전에 부등식이 무엇인지부터 간단하게 설명하겠다. 사실 수포자라 해도 부등식이 무엇인지 모를리는 없을 것이라고 생각은 하지만.... 1. 부등식이란? 부등식은 두 수 또는 두 식의 대소 관계를 나타낸 식을 말한다. >, 5, x² ≥ 0 등 여러 가지 형태로 존재한다. 그리고 이 부등식도 크게 2가지로 나누어 진다. 바로 절대부등식과 조건부등식이다. ① 절대부등식 x² + 3 > 0 와 같은 부등식은 x의 어떤 실수값에 대해서도 항상 성립한다. 이와 같이 부등식 중 문자에 어떤 실수값을 대입하더라도 항상 성립하는 부등식을 절대부등식이라고 말한다. x² + 3의 경우 x²은 무조건 0보다 크거나 같기 때문에 x² + 3 > 0 은 절대부등식이라고 말할 수 있다. ② 조건부등식 ..

제목은 뭔가 그럴 듯 하지만 기본적인 개념의 간단한 응용이다. 이차함수 y = ax2 + bx + c의 그래프와 직선 y = mx + n의 교점의 x좌표는... ax2 + bx + c = mx + n, → ax2 + (b - m)x + c - n = 0 의 해와 같다. 이 역시 이차방정식이기 때문에 실근의 개수는 판별식의 부호에 따라 결정된다. 즉, 판별식 D로 이차함수의 그래프와 직선의 교점의 개수를 알 수 있다는 것이다. 판별식 D를 이용한 이차함수의 그래프와 직선의 위치관계 위에서 y = ax2 + bx +c의 그래프와 직선 y = mx + n의 교점의 좌표는 ax2 + bx + c = mx + n, → ax2 + (b - m)x + c - n = 0 의 해와 같다는 언급을 하였다. 따라서 ax2 ..

조화수열이란? 어떠한 수열 이 있을 때, 그 수열의 각 항의 역수의 수열이 등차수열을 이루는 경우, 그 어떠한 수열을 바로 조화수열이라고 부른다. 말만 들어서는 무슨 소린가 싶기도 할 수 있다. 아래의 식을 보면 이해가 쉬울 것이다. ▲조화수열은 약자로 H.P(Harmonic Progression)로 나타내기도 한다. 조화수열의 일반항 조화수열의 일반항은 등차수열의 일반항의 역수이다.▼ 위 식을 an을 중심으로 고치면 아래와 같이 일반항의 공식으로 나타낼 수 있다.▼ 조화중항 세 수 a, b, c가 이 순서로 조화수열을 이룬다면, b를 a, c의 조화중항이라고 하며, 아래와 같은 식으로 나타낼 수 있다.▼ 유도하는 것은 간단하다. 그냥 직접 풀어서 써보면 된다.▼ 내가 공부하던 시절에는 조화수열 자체가 ..

미정계수법이란? 미정계수법이란 항등식의 성질을 이용하여 결정되지 않는 계수의 값을 정하는 방법을 말한다. 그럼 여기서 항등식의 성질이 무엇인지 잠시 살펴보도록 하자. 항등식의 성질 다음 등식이 x에 대한 항등식일 때, 아래와 같이 표현할 수 있다.▼ ▲수학에 있어서 뭔가 당연한 것 같지만 굉장히 중요한 개념이니 무조건 기억해야 한다. 아무튼 이 내용을 바탕으로 미정계수법의 2가지 방법에 대하여 알아보자. 1. 계수비교법 항등식 양변에 있는 같은 차수의 항의 계수는 서로 같으므로 이 성질을 이용하여 양변의 계수를 비교하여 결정하는 방법을 말한다. 식을 내림차순으로 전개한 다음 양변의 계수를 비교하면 된다. a(x - 2) + b(x - 4) = x라는 식이 x에 대한 항등식이 되도록 실수 a, b의 값을 ..

계수가 실수인 이차방정식 ax2 + bx + c(a > 1)에서 근의 부호는 두 근이 모두 양수, 두 근이 모두 음수, 두근이 서로 다른 부호로 총 3가지의 경우가 있다. 두 근의 부호에 대한 내용을 정리하여 보자. 두 근이 모두 양수일 조건 두 근을 α, β 라고 할 때 두 근이 양수일 조건은 다음과 같다.▼ 두 근이 모두 양수일 때 그래프는 아래와 같이 나타낼 수 있다.▼ ▲그림에서 알 수 있듯 이차벙정식의 두 근이 모두 양수일 조건은 α + β > 0, αβ > 0이고 D ≥ 0의 공통 범위가 된다. 두 근이 모두 음수일 조건 두 근을 α, β 라고 할 때 두 근이 음수일 조건은 다음과 같다.▼ 두 근이 모두 음수일 때, 그래프는 아래와 같이 말할 수 있다.▼ ▲이차방정식의 두 근이 모두 음수일 조..

지수함수란? a가 1인 아닌 양수일 때, 실수 x에 ax을 대응시키는 함수를 지수함수라고 한다. 표현하면 y=ax (a ≠ 1, a > 0) 이것을 a를 밑으로 하는 지수함수라고 한다. 지수함수 그래프의 성질 y=ax는 a > 1인 경우와 0 1일 때, x의 값이 증가하면 y의 값은 증가한다. 반면 0 < a < 1일 때, x의 값이 증가하면 y값은 감소한다. 이 사실은 위 그래프..