제이의 집

절대값 기호가 있는 그래프 그리기 일반적으로 절대값 기호가 있는 함수의 그래프는 절대값 기호 안이 0이 되는 x의 값을 경계로 구간을 나누어 그린다.▼ 그리고 절대값 기호가 있는 그래프는 아래와 같은 절차를 밟아서 그려진다. 1. 절대값 안을 0으로 하는 x의 값을 구한다. 2. 구한 x의 값을 경계로 그 값보다 클 때와 작을 때로 구분. 3. 범위에 적합하도록 그래프를 그린다. 이 절차에 따라 그려진 그래프의 예시를 살펴보도록 하자. 절대값 함수 그래프의 예시 f(x) = x - 4 라고 두고 4가지 절대값 함수 그래프에 대하여 알아보자. 1. y = |f(x)| = |x - 4| x ≥ 4일 때, |f(x)| = x - 4, x

만나는 두 원의 방정식을 정의하면 이 둘이 만나는 교점을 지나는 원의 방정식은 아래와 같이 말할 수 있다.▼ ▲이 식의 핵심은 k ≠ -1이라는 것이다. 왜 그런지는 아래에서 후술 하도록 하겠다. 교점을 지나는 원을 그림으로 보면 아래와 같다.▼ ▲검은테두리 두 원이 만나는 교점을 지나는 빨간색깔의 원이 바로 위에서 구한 만나는 두 원의 교점을 지나는 원이다. k ≠ -1 인 이유? 왜 k ≠ -1 이어야 할까? 만약 k = -1 이라면 x², y² 항이 소거가 되어 원의 방정식이 만들어지지 않고 일차항으로만 이루어진 직선의 방정식이 만들어진다. 이 직선의 방정식은 두 원의 교점을 지나는 직선, 즉 공통현의 방정식이다. 자세한 내용은 아래의 글을 참조하도록 하자. 공통현의 방정식에 대하여 알아보자

원 밖의 한 점에서 그은 접선의 방정식을 구하는 방법은 크게 2가지가 있다. 1. 판별식 D를 이용 2. 원의 성질을 이용 두 방법 크게 계산상에 있어서 큰 차이가 없다. 이 차이가 없다는 말은 어떤 방식이 좀 더 계산하기 편리하다는 것에 대한 차이가 없다는 말이다. 자신에게 좀 더 익숙한 방법을 택하면 되겠다. 각 방법들에 대하여 살펴보도록 하자. 1. 판별식 D를 이용 점(2,0)에서 원 x²+y²=1에 그은 접선의 방정식을 구하여 보자. 우선 점(2,0)을 지나고 기울기가 m인 접선의 방정식을 정의하자.▼ 이 접선의 방정식을 x²+y²=1에 대입하고 x에 대하여 정리하자.▼ x에 대하여 정리된 식을 이제 판별식 D를 적용하여 다시 정리하여 그 식을 좀 전의 직선의 방정식에 대입하자.▼ ▲위와 같이 ..

공통현이란? 공통현이란 두 원이 두 점 A, B에서 만날 때 두 원의 교점을 연결한 선분을 말한다. 아래의 그림을 본다면 좀 더 이해가 쉬울 것이다. ▲두 원의 교점 A와 B를 잇는 선분 AB가 바로 공통현이다. ▲두 원의 중심 O, O'를 이은 중심선은 두 원의 공통현을 수직이등분한다. 따라서 위와 같이 말할 수 있다. ▲원의 성질을 조금만 생각하면 두 원의 공통현은 중심선에 의하여 수직이등분 된다는 사실을 증명할 수 있다. 공통현의 방정식 공통현이 무엇인지는 위에서 알아보았다. 그러면 이제 공통현의 방정식에 대하여 알아보자. 두 원의 방정식을 안다면 공통현의 방정식은 아래와 같이 아주 쉽게 구할 수 있다. ▲위와 같이 두 원의 방정식을 서로 빼면 된다. 그러면 이차항이 소거가 되어 일차식 즉, 직선의..

축에 접하는 원의 방정식은 총 3가지로 분류를 할 수 있다. 1. x축에 접하는 원의 방정식 2. y축에 접하는 원의 방정식 3. x축, y축에 접하는 원의 방정식 어려운 내용은 아니다. 조금만 생각을 해보면 굳이 외우지 않더라도 바로 알 수 있는 내용들이다. 지금부터 하나씩 살펴보도록 하자. 1. x축에 접하는 원의 방정식 x축에 접하는 원은 중심의 y좌표의 절대값과 반지름의 길이가 같다. y좌표가 ±b 라면 반지름의 길이는 b다. 정리하면 아래와 같다.▼ 좀 더 알기 쉽게 하나의 원의 방정식을 예로 들어 그래프에 표시해 보자.▼ 2. y축에 접하는 원의 방정식 y축에 접하는 원은 중심의 x좌표의 절대값과 반지름의 길이가 같다. x좌표가 ±a 라면 반지름의 길이는 a다. 정리하면 아래와 같다.▼ 아까랑..

서론 직선에 대한 점의 대칭점은 크게 2가지 경우가 있다. 하나는 기울기가 ±1인 직선에 대한 점의 대칭점. 다른 하나는 기울기가 ±1이 아닌 직선에 대한 점의 대칭점. 대칭점을 구하는 방법 역시 경우에 따라서 차이가 있다. 이번 글에서는 저 2가지 경우의 직선에 대한 점의 대칭점을 구하는 방법에 대하여 알아보자. 1. 기울기가 ±1인 직선에 대한 점의 대칭점 구하기 기울기가 ±1인 직선에 대한 점의 대칭점 구하는 방법은 다음과 같은 한 문장으로 요약이 가능하다. 기울기가 ±1인 직선에 대한 점의 대칭인 점은 주어진 점을 기울기가 ±1인 직선의 방정식에 대입하여 구한다. 자 그럼 이제 구해보도록 하자. ▲위와 같은 직선과 한 점이 주어졌다. 이 점을 위 직선의 x, y에 각각 대입을 하여 구하면 된다. ..

삼각함수의 값의 부호 삼각함수는 각 θ의 크기에 따라 부호가 달라진다.θ가 몇 사분면의 각인지에 따라 삼각함수의 값의 부호가 결정된다. 삼각함수의 값의 부호는 아래와 같이 4개의 문장으로 정리할 수 있다. 1. θ가 제 1사분면의 각이면 모두가 +다. 여기서 모두는 sin, cos, tan, cosec, cot, sec 모두를 말한다. 2. θ가 제 2사분면의 각이면 sin(cosec)만 + 다. 3. θ가 제 3사분면의 각이면 tan(cot)만 + 다. 4. θ가 제 4사분면의 각이면 cos(sec)만 + 다. ▲그림으로 아주 간단하게 표현을 하자면 위와 같다. x좌표, y좌표에 따른 정리 결국 각 θ라는 것은 몇 사분면의 각인가에 따라 점의 x좌표와 y좌표의 부호가 결정된다. 이 내용을 아래의 그림과..

멱급수란? 두 수의 곱이 앞의 수는 등차수열, 뒤의 수는 등비수열로 진행되는 수열을 하나 생각해보자. 이 말이 잘 이해가 되지 않는다면 아래와 같은 예를 들어보자. ▲위 수열은 앞서 말한 것처럼 앞의 수는 등차수열, 뒤의 수는 등비수열로 진행되고 있다. 이러한 형태의 수열의 합을 멱급수라고 한다. 멱급수를 구하는 방법 멱급수를 구하는 방법은 2가지 단계로 정리가 가능하다. 1. 주어진 수열 S에 등비수열의 공비 r를 곱한다. 2. 주어진 수열을 S - rS 꼴로 만들어 합을 구한다. 이 2단계를 거쳐 아래와 같은 수열의 합을 구해보도록 하자. ▲위 수열은 등비수열 부분의 공비가 3이다. 즉 S - 3S를 만들어서 계산하여 정리하자. ▲구하는 방법은 간단하지만 등비수열의 합을 구하는 방법을 알고 있어야 한..

공간에서의 직선 공간안에는 무수히 많은 직선을 그을 수 있다. 두 개의 직선을 긋는 다면 이들의 위치 관계는 무조건 3가지 중의 하나로 분류된다. 이번 글에서는 공간에서 두 직선의 위치 관계에 대하여 알아보자. 위치 관계 3가지 하나씩 알아보도록 하자. 1. 한 점에서 만난다. ▲위의 그림 처럼 한 점에서 만나는 경우다. 이 경우 두 직선은 한 평면 위에 있다. 2. 평행. ▲평행의 의미를 모르는 사람은 없을 것이라고 생각한다. 이 역시 두 직선은 한 평면 위에 있는 것을 알 수 있다. 3. 꼬인 위치에 있는 경우. ▲세 번째로는 꼬인 위치에 있는 경우다. 한 평면 위에 있지 않은 두 직선이 만나지도 않고 평행하지도 않을 때 이 두직선은 서로 꼬인 위치에 있다고 말한다. 위 그림을 보면 직선 l과 m은 ..

미지수가 x, y로 이루어진 이차식이 주어졌을 경우 이 식이 실원을 되는지 안되는지 판단할 수 있는 방법은 2가지가 있다. 이번 글에서는 실원이 되는 조건을 구하는 방법 2가지에 대하여 알아보도록 하자. 일반형을 표준형으로 고쳐서 실원의 조건 구하기 다음과 같은 이차식을 가정해보자. ▲위 식은 원의 방정식의 일반형이다. 이것을 표준형 원의 방정식 즉, 완전제곱꼴로 고치도록 하자. 표준형으로 고쳤을 경우 반지름의 길이를 알 수 있다. 이 반지름의 길이가 0보다 크다면 실원이라 말을 할 수 있다. 이 사실을 기억하고 아래와 같이 식을 정리하자. ▲완전제곱꼴로 식을 고쳐서 문제는 푸는 방법은 가장 기본이 되는 응용 방법 중 하나다. 위와 같이 기하 관련 문제를 푸는 데도 유용하게 쓰인다. 원의 판별식을 이용하..