제이의 집

로그의 성질 수학 공부하는데 절대 떼어놓을 수 없는 4가지가 있다. 바로 더하기, 빼기, 곱하기, 나누기다. 조금 비유가 맞지 않은 것 같기도 하지만 로그에도 절대 떼어놓을 수 없는 4가지의 성질이 있다. 로그의 성질은 아래와 같다. ▲로그는 수학 공부를 멈추지 않는 이상 계속 접하게 될 것이다. 따라서 로그의 성질은 매우 중요한 내용이라고 말할 수 있다. 왜 로그는 저러한 성질을 가지고 있는 것일까? 증명해보도록 하자. 로그의 성질 증명하기 로그의 성질은 로그의 정의를 이용하면 간단하게 증명이 가능하다. ▲증명하라는 문제는 나오지 않을 것이다. 하지만 수학 공부를 하면서 공식들이 만들어지는 이유를 한 번쯤은 읽고 넘어가는 것을 권장한다. 특히 수리논술을 준비하는 사람이 있다면 저런 정의와 증명 과정들은..

실수의 대소 관계 두 실수 a, b 사이의 관계는 반드시 이 3개 중 하나가 성립한다. ▲당연한 사실이다. 굳이 설명을 하지 않더라도 당연하게 이해가 될 것이라고 생각한다. 이 사실을 바탕으로 실수의 대소에 대한 몇 가지 기본 성질을 말할 수 있다. 실수의 대소에 대한 기본 성질 실수의 대소에 대한 기본 성질로 4가지가 있다. ▲사실 이 기본 성질은 당연하다 싶은 사실이지만, 하나하나 증명으로 나타낼 수 있다. 실수에 대한 기본 성질 증명하기 하나하나 살펴보도록 하자. 모든 증명 과정이 정말 기본적인 수학 상식 선에서 알 수 있는 것이니 여유가 된다면 한 번 읽어보도록 하자. ※ 수학 공부에 도움이 되는 글 삼각함수의 덧셈정리와 증명하기 평면 위의 두 점 사이의 거리 공식 및 증명(유도과정) 수학적귀납법..

포물선의 방정식 포물선은 이차곡선 중 하나로 평면 위의 한 정점 F와 이 점을 지나지 않는 한 정직선 l 에 이르는 거리가 같은 점의 자취를 포물선이라고 한다. 그림으로 보자. ▲그림으로 표현하면 포물선과 그 구성요소는 위와 같이 나타낼 수 있다. 포물선의 정의와 각 요소의 특징을 살펴보도록 하자. ▲위의 내용은 포물선의 특징을 나타낸 것이다. 이차곡선을 공부한다면 반드시 기억해야하는 내용이다. 포물선의 방정식을 표현하면 아래와 같다. 포물선의 방정식의 표준형 포물선의 방정식의 표준형은 아래와 같이 정리할 수 있다. 포물선의 방정식의 일반형 x축에 평행한 축을 가진 포물선은 아래와 같이 말할 수 있다. y축에 평행한 축을 가진 포물선은 아래와 같이 말할 수 있다. ※ 수학공부에 도움이 되는 글 이차방정식..

평면의 성질 두 점 A, B를 지나는 직선 AB를 포함하는 평면은 무수히 많다. 이건 뭐 당연한 사실이다. 하지만 아래의 그림의 경우는 어떨까? ▲그림과 같이 한 직선 AB 위에 있지 않은 한 점 C를 지나는 평면은 오직 하나뿐이다. 이 성질을 기본으로 하여 하나의 평면을 결정할 수 있는 4가지의 조건을 만들 수 있다. 평면의 결정 조건 4가지 1. 한 직선 위에 있지 않은 세 점을 포함하는 평면은 오직 하나뿐이다.▼ 2. 한 직선과 그 직선 위에 있지 않은 한 점을 포함하는 평면은 오직 하나뿐이다.▼ 3. 서로 만나는 두 직선을 포함하는 평면은 오직 하나뿐이다.▼ 4. 서로 평행한 두 직선을 포함하는 평면은 오직 하나뿐이다.▼ 평면의 결정 조건은 고난도의 기하학 문제를 풀 경우 간혹 중요한 포인트가 되..

근의 위치를 판별하는 기준 이차방정식 ax²+bx+c=0 (a>0)의 두 근을 α, β(α≤β), D=b²-4ac라 할 때, 두 근 α, β와 임의의 상수 k를 활용하여 아래와 같은 3가지 조건으로 근의 위치를 판별할 수 있다. ① 판별식 D≥0 ② f(k)의 부호 ③ 꼭지점의 x좌표 (α+β)/2와 k의 대소 관계 그럼 이제부터 근의 위치 판별을 해보도록 하겠다. 근의 위치 판별 근의 위치 판별은 그리 어려운 것이 아니다. 막상 식만 보면 잘 모를 수 있으나, 좌표평면에 그려서 보면 굉장히 간단하고 직관적으로 판단이 가능하여 이해하기가 쉽다. 1. 두 근 α, β가 k 보다 클 조건 2. 두 근 α, β가 k보다 작을 조건 3. k가 두근 α, β사이에 있을 조건 4. 두 근 α, β가 k'와 k(k'

0의 힘 0이라는 숫자는 수많은 실수 중에서도 가장 특별한 수라고 생각한다. 그 어떤 수에 0을 더하거나 빼더라도 그 수는 변함이 없다. 그러나 0을 곱하게 된다면 그 수는 무엇이든 간에 0이 된다. 숫자의 본 형태를 아주 간단하게 있는 그대로의 모습으로 유지를 시켜주거나 아니면 자신과 똑같은 0으로 바꾸는 숫자 0. 굉장히 특별하지 않은가? 0을 곱하면 0이 되는 이유 모든 숫자에 0을 곱하면 0이 된다. 이 사실은 갓난 아기가 한글을 깨치는 것 마냥 자연스럽게 받아들이는 내용이다. 자연스럽게 받아들이니 왜?라는 생각을 가진 적이 거의 없을 것이다. 그래서 모든 수에 0을 곱하면 0이 되는 이유 즉, 0을 곱하면 0이 되는 것을 증명을 해보도록 하자. 이 글에서는 2가지의 증명하는 방법을 서술하도록 하..

두 원의 위치 관계의 종류 평면 위에 두 개의 원을 그리면 어떻게 그러던 두 원의 위치 관계는 6가지 중 하나에 해당된다. 그 6가지를 그림을 통하여 하나하나 살펴보자. 위와 같이 원이 2개가 있다면 두 원의 위치관계는 반드시 저 6가지 중 하나에 해당된다. 하지만 저 위치 관계를 파악하고자 매번 그림을 그릴 수도 없는 노릇. 원의 방정식이 주어진다 해도 제대로 판별할 수 있도록 그려내는 것은 어렵다. 시험 칠 때 모눈종이를 나눠주는 것도 아니고..... 두 원의 중심거리로 두 원의 위치 관계 파악하기 두 원의 방정식이 주어진다면 알 수 있는 것은 두 원의 반지름과 두 원의 중심좌표다. 중심 좌표를 알 수 있으니 계산하여 두 원의 중심거리를 구할 수 있다. 두 점사이의 거리를 구하기 위한 공식은 아래 글..

등비수열의 합 공식 등비수열이 수열에서 가장 많이 접하게 되듯이 등비수열의 합 공식 또한 많이 접하게 되는 공식 중 하나다. 등비수열의 첫째항을 a, 공비를 r이라고 하면, 첫째항부터 n항까지의 합 Sn은 다음과 같이 말할 수 있다. 참고로 등비수열의 합은 2가지 경우가 있다. 첫째는 공비가 1이 아닐 때 둘째는 공비가 1일 때 증명하기 등비수열의 합의 공식을 유도하는 것은 등차수열의 합의 공식을 유도하는 것과 비슷하지만 미묘한 차이가 있다. 기존의 Sn을 나열한 식과 이 식에 r을 곱한 식을 나열하여 연산하면 쉽게 유도할 수 있다. 아래를 보자. 등비수열의 합의 공식으로 일반항 구하기 등차수열의 합의 공식으로 일반항을 구하는 것과 전혀 다르지 않다. Sn-1에 an이 더해진 것이 Sn이다. 즉. Sn ..

천재 잼민이 가우스와 등차수열의 합의 공식 독일의 수학자 가우스가 잼민이인 시절 학교 선생님이 학생들에게 덧셈 문제를 냈다. 그 덧셈 문제는 1부터 100까지의 숫자를 더한 값이 얼마냐는 거였는데 다른 잼민이들이 애먹을 동안 격이 다른 천재 잼민이였던 가우스는 암산으로 순식간에 풀어내었다. 이때 가우스가 계산에 활용한 식이 등차수열의 합의 공식이다. 이 원리를 먼저 고안한 사람은 아니지만 잼민이시절에 저런 것을 생각해냈다는 것 자체가 가우스의 그릇이 남다르다는 것을 나타내 준다. 뭐 근데 이 일화가 사실인지는 모르겠다. 아무튼 일화가 사실이라면 이 때 가우스가 사용한 계산방법이 등차수열의 합의 공식이다. 첫째항이 a이고 공차가 d라면 등차수열의 합의 공식은 다음과 같다. 여기서 가우스가 계산에 활용한 식..

수열이란? 수열이란 어떤 일정한 규칙에 따라 차례로 나열된 수의 열을 말하며 수열의 각 수를 그 수열의 항이라고 한다. 예를 들면 수열을 a₁, a₂, a₃....으로 나열되어 있을 때 a₁을 첫째항, a₂을 둘째항이라고 한다. 그리고 여기서 n번째 항 an을 일반항이라고 말한다. 그럼 이제 이 글의 메인인 등차수열에 대하여 알아보도록 하겠다. 등차수열이란? 첫째항부터 차례로 일정한 수를 더해서 얻어지는 수열을 등차수열이라고 하며, 여기서 일정한 수를 공차라고 표현한다. 무슨 소리냐면 예를 들어 아래와 같이 1, 4, 7, 10, 13..... 과 같은 수열이 있다고 하자. 등차수열의 일반항 위와 같은 등차수열의 경우 항의 개수가 무한히 많다. 따라서 나열한다면 지구 한 바퀴를 돌아도 부족한 수준이다. ..