등비수열의 합 공식 및 증명하기

등비수열의 합 공식

등비수열이 수열에서 가장 많이 접하게 되듯이 등비수열의 합 공식 또한 많이 접하게 되는 공식 중 하나다.

등비수열의 첫째항을 a, 공비를 r이라고 하면, 첫째항부터 n항까지의 합 S_n은 다음과 같이 말할 수 있다.

 

참고로 등비수열의 합은 2가지 경우가 있다.

 

첫째는 공비가 1이 아닐 때

 

둘째는 공비가 1일 때

 

 

 

 

증명하기

등비수열의 합의 공식을 유도하는 것은 등차수열의 합의 공식을 유도하는 것과 비슷하지만 미묘한 차이가 있다.

기존의 Sn을 나열한 식과 이 식에 r을 곱한 식을 나열하여 연산하면 쉽게 유도할 수 있다.

아래를 보자.

 

 

 

등비수열의 합의 공식으로 일반항 구하기

등차수열의 합의 공식으로 일반항을 구하는 것과 전혀 다르지 않다.

 

S_n-1에 a_n이 더해진 것이 S_n이다.

 

즉.

S_n = a₁+a₂+a₃+.....+a_n-1+a_n

S_n-1 = a₁+a₂+a₃+.....+a_n-1

 

두 식을 뺀다면 결국 S_n-S_n-1 = a_n 일반항을 구할 수 있다.

 

 

※함께 읽기

등비수열과 등비수열의 일반항, 등비중항

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