등차수열 합의 공식과 증명 및 일반항 구하기

천재 잼민이 가우스와 등차수열의 합의 공식

독일의 수학자 가우스가 잼민이인 시절 학교 선생님이 학생들에게 덧셈 문제를 냈다. 그 덧셈 문제는 1부터 100까지의 숫자를 더한 값이 얼마냐는 거였는데 다른 잼민이들이 애먹을 동안 격이 다른 천재 잼민이였던 가우스는 암산으로 순식간에 풀어내었다. 이때 가우스가 계산에 활용한 식이 등차수열의 합의 공식이다. 이 원리를 먼저 고안한 사람은 아니지만 잼민이시절에 저런 것을 생각해냈다는 것 자체가 가우스의 그릇이 남다르다는 것을 나타내 준다. 뭐 근데 이 일화가 사실인지는 모르겠다.

 

아무튼 일화가 사실이라면 이 때 가우스가 사용한 계산방법이 등차수열의 합의 공식이다.

첫째항이 a이고 공차가 d라면 등차수열의 합의 공식은 다음과 같다.

 

 

여기서 가우스가 계산에 활용한 식은 2번째 식이다. 수학 선생님이 내준 문제는 총 100개의 숫자에 첫째항 a가 1, 제 100항 l이 100이 되는 것이다. 계산하면 {100(100+1)}/2 = 5050이라는 숫자가 나온다. 따라서 1부터 100까지의 숫자를 더한 합의 값은 5050이다.

 

 

등차수열의 합의 공식 증명하기

증명하는 방법은 어렵지 않다.

S_n을 정순과 역순으로 나열하여 더하여 정리하면 등차수열의 합의 공식을 나타낼 수 있다.

 

 

 

 

등차수열의 합의 공식으로 일반항 구하기

S_n과 S_n-1의 차이는 뭘까? 

S_n-1에 a_n이 더해진 것이 S_n이다.

 

즉.

S_n = a₁+a₂+a₃+.....+a_n-1+a_n

S_n-1 = a₁+a₂+a₃+.....+a_n-1

 

두 식을 뺀다면 결국 S_n-S_n-1 = a_n 즉 일반항을 구할 수 있다.

 

 

※함께 읽기

등차수열과 등차수열의 일반항, 등차중항