등차수열과 등차수열의 일반항, 등차중항

수열이란?

수열이란 어떤 일정한 규칙에 따라 차례로 나열된 수의 열을 말하며 수열의 각 수를 그 수열의 항이라고 한다. 예를 들면 수열을 a₁, a₂, a₃....으로 나열되어 있을 때 a₁을 첫째항, a₂을 둘째항이라고 한다. 그리고 여기서 n번째 항 a_n을 일반항이라고 말한다. 그럼 이제 이 글의 메인인 등차수열에 대하여 알아보도록 하겠다.

 

 

등차수열이란?

첫째항부터 차례로 일정한 수를 더해서 얻어지는 수열을 등차수열이라고 하며, 여기서 일정한 수를 공차라고 표현한다. 

무슨 소리냐면

예를 들어 아래와 같이 1, 4, 7, 10, 13..... 과 같은 수열이 있다고 하자.

 

 

 

등차수열의 일반항

위와 같은 등차수열의 경우 항의 개수가 무한히 많다. 따라서 나열한다면 지구 한 바퀴를 돌아도 부족한 수준이다. 이 긴걸 하나하나 나열하여 쓸 수는 없다. 따라서 수열은 일반항이라고 부르는 식으로 표현한다.

다시 수열 1, 4, 7, 10 ,13..... 을 예로 들어보자.

 

여기서 첫째항은 1이다.

 

둘째항은 첫째항에 공차 3을 더한 값인 4

 

셋째항은 첫째항에 공차 3을 2번 더한 값인 7

 

넷째항은 첫째항에 공차 3을 3번 더한 값인 10.....

 

정리하면 n번째 항은 첫째항에 공차 3을 n -1번째 더한 값이 된다.

 

즉, 등차수열의 일반항, 즉 n번째항은 첫째항에 공차 d를 n -1 번 더한 식이다.

 

 

 

 

등차중항이란?

세 수 a, b, c가 이 순으로 등차수열을 이룰 때 b를 a, c의 등차중항이라고 한다.

이경우 아래와 같은 식이 성립된다.

 

 

 

증명하는 방법은 아주 간단하다. 그냥 일반항을 넣어서 정리하면 끝난다.

 

 

 

 

이렇게 나란히 3개의 항을 쓰고 대입하여보자.

 

 

 

이렇게 쉽게 정리할 수 있다. 등차수열은 쉬운 내용이지만 개념을 정확하게 알고 있어야 한다. 사실 모든 수학에 해당되는 내용이긴 하지만..