원과 직선의 위치 관계 및 판별하기

원과 직선의 위치 관계 세 가지 경우

좌표평면상에서 하나의 원과 하나의 직선을 무작정 그려보자. 초등학생이 그리던 피카소가 와서 그리던 원과 직선의 위치 관계는 무조건 세 가지 중의 하나에 해당된다.

 

세 가지는 과연 무엇인가???

 

두 점에서 만나거나, 접하는 경우(=한 점에서 만나는 경우), 만나지 않는 경우다.

어떠한 용쓰는 재주가 있다고 해도 이 세 가지를 절대 벗어나지 않는다.

그림으로 보자.

 

 

 

식을 통하여 위치 관계 판별하기

그림을 그리면 복잡한 생각 없이 아주 직관적으로 바로 원과 직선의 위치 관계를 알 수 있다. 하지만 매번 그림을 그릴 수는 없다. 그러니 우리는 식으로 원과 직선의 위치 관계를 판별할 수 있어야 한다. 판별법은 크게 2가지가 있다. 하나하나 살펴보도록 하자.

 

 

판별식 D 사용하기

원의 방정식과 직선의 방정식을 연립하면 이차방정식이 만들어진다. 그럼 여기서 원과 직선의 교점이라고 하면 결국 연립하여 만들어진 해의 개수라고 말할 수 있다. 즉, 두 점에서 만나는 경우는 해가 2개가 될 것이고, 한 점에서 만나는 경우는 해가 1개, 만나지 않는 경우는 해가 없는 것이다.

 

이차방정식의 근의 개수를 판별하는 식. 하나 떠오르는 게 있을 것이다.

바로 판별식 D 

 

 

위 식에서 판별식 D를 적용시키면 된다. 판별식 D에 대해 잘 모르겠다면 아래 글을 참조하자.

클릭→[이차방정식]판별식 D에 대하여 알아보자.

[이차방정식]판별식 D에 대하여 알아보자.

 

결국은 아래와 같이 정리가 가능하다.

 

 

 

원의 중심과 직선의 거리를 통하여 위치 관계 판별하기

원의 중심과 직선 사이의 거리를 통하여 원과 직선의 위치 관계를 판단할 수 있다.

아래의 그림을 보자. 원과 직선 사이의 거리는 d라고 정의하면

 

 

 

그림을 글로 요약하자면....

 

 

 

원의 중심과 직선사이의 거리는 점과 직선사이의 거리 공식을 적용시키면 된다.

점과 직선사이의 거리 공식은 아래를 참고하자.

점과 직선사이의 거리 공식 및 증명하기

점과 직선사이의 거리 공식 및 증명하기