여러 가지 지수법칙 및 증명하기

지수법칙

a ≠ 0, b ≠ 0이고 m , n이 정수일 때 크게 4가지 지수법칙이 존재한다.▼

 

▲사실 위 내용에 대해 특별히 왜 이럴까라는 궁금증을 가져본 적은 없을 것이다. 왜냐하면 저 내용들은 정말 너무나도 당연한 것들이라고 여겨지기 때문이고 또 실제로 정말 당연한 것들이다. 거의 뭐 구구단급 당연함이다. 하지만 당연한 것들도 논리적으로 증명을 하는 방법이 있다. 이번 글에서 한 번 증명을 해보고자 한다.

 

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증명하기

하나하나 증명해보도록 하자. 모든 지수법칙은 복잡하고 어려운 내용 없이 간단한 논리로 단순하고 명쾌하게 증명이 가능하다.

 

① a^mbⁿ = a^{m + n}

풀어서 쓰면 a^m × aⁿ = (a × a × a × ⋯ × a) × (a × a ×⋯× a)이다.

a를 m번 곱한 것에서 a를 n번 곱한 것을 곱한 것이다. a를 m번 곱한 것에서 a를 한 번 곱하면 a를 m+1번 곱한 것, a를 m번 곱한 것에서 a를 두 번 곱하면 a를 m+2번 곱한 것...... 이대로 쭉 올라가면 a를 m번 곱한 것에 a를 n번 곱하면 a를 m+n번 곱한 것이라고 말할 수 있다. 따라서 a^mbⁿ = a^m+n 이 성립한다.

 

② (a^m)ⁿ = a^mn

이 역시 마찬가지로 먼저 풀어서 써보자.

(a × a × a⋯× a) × (a × a ×⋯× a) × ⋯ × (a × a ×⋯× a)

그냥 단순하게 풀어쓴 것처럼 보인다. 그냥 풀어쓴 것 맞다. 그러나 저걸 보고 다시 한번 생각해 보자.

저것은 결국 a를 m번 곱한 것을 n번 곱한 것이라고 말할 수 있다. a를 m번 곱한 것을 a^m이라고 표현한다.

그럼 여기서 a를 m번 곱한 것을 b라고 둔다면, a^mn은 b를 n번 곱한 것이라고 말할 수 있다.

따라서 (a^m)ⁿ=a^mn 이다.

 

 

③ (ab)ⁿ = aⁿbⁿ

이것도 마찬가지다 풀어서 써보자.

(a × b) × (a × b) × (a × b) ×  ⋯ × (a × b)   = (a × a × a × ⋯ × a) × (b × b × b × ⋯× b)

왜 저렇게 a는 a로 b를 b로 곱하기를 묶을 수 있느냐... 곱셈 법칙으로 말할 수 있다.

따라서 (ab)ⁿ = aⁿbⁿ이다.

 

 

④ a^m ÷ aⁿ = a^{m - n}

이것은 풀어서 쓰면 ①과 100% 똑같은 논리로 설명을 할 수 있다.

a^m ÷ aⁿ = (a × a × a × ⋯ × a) ÷ (a × a ×⋯× a)

결국 이것은 a를 m번 곱한 후, a를 n번 나눈 것이 된다.

따라서 aⁿ = a^{m - n} 

 

뭔가 대단한 증명식을 생각한 사람도 있을 것이라고 생각한다. 하지만 증명에는 정석이란 것이 없다. 그렇기 때문에 수학이라는 학문이 위대한 학문인 것이다.

 

 

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