미정계수법 - 계수비교법, 수치대입법

미정계수법이란?

미정계수법이란 항등식의 성질을 이용하여 결정되지 않는 계수의 값을 정하는 방법을 말한다. 그럼 여기서 항등식의 성질이 무엇인지 잠시 살펴보도록 하자.

 

항등식의 성질

다음 등식이 x에 대한 항등식일 때, 아래와 같이 표현할 수 있다.▼

▲수학에 있어서 뭔가 당연한 것 같지만 굉장히 중요한 개념이니 무조건 기억해야 한다. 아무튼 이 내용을 바탕으로 미정계수법의 2가지 방법에 대하여 알아보자.

 

 

 

1. 계수비교법

항등식 양변에 있는 같은 차수의 항의 계수는 서로 같으므로 이 성질을 이용하여 양변의 계수를 비교하여 결정하는 방법을 말한다. 식을 내림차순으로 전개한 다음 양변의 계수를 비교하면 된다.

 

a(x - 2) + b(x - 4) = x라는 식이 x에 대한 항등식이 되도록 실수 a, b의 값을 찾기 위해 계수비교법을 사용해 보자.

 

좌변을 전개하여 내림차순으로 정리하면,

(a + b)x -2a - 4b = x

 

양변이 계수를 비교하면,

a + b = 1, - 2a - 4b = 0이고 이것을 연립하여 정리하면 a = 2, b = -1이 된다.

 

 

 

2. 수치대입법

항등식은 미지수에 어떠한 값을 대입하여도 항상 성립하기 때문에 적당한 수치를 대입하여 계수를 결정하는 방법을 말한다. 적당한 수치라는 것은 곱의 인수를 0으로 하는 값을 말한다.

 

다시 a(x - 2) + b(x - 4) = x에서 적당한 수치는 2, 4가 될 것이다. 하나씩 대입하여 정리하자

 

x = 2를 대입하면 a(2 - 2) + b(2 - 4) = 2, b = - 1

x = 4를 대입하면 a(4 - 2) + b(4 - 4) = 4, a = 2

 

어느 방법으로 정리하여도 a = 2, b = -1의 결과를 얻을 수 있다.

 

상황에 따라서 맞는 방법을 사용하도록 하자. 

 

 

 

※ 함께 읽기 항등원과 역원에 대하여 알아보자. 방정식의 부정과 불능