항등원과 역원에 대하여 알아보자.

연산에 대하여 닫혀 있다는 무슨 말일까?

항등원과 역원을 이해하기 위해서는 우선 연산에 대하여 닫혀 있다는 의미를 이해해야 한다.

연산에 대하여 닫혀 있다라는 의미는 집합 X의 임의의 두 원소를 선택하여 어떠한 연산을 해서 나온 결과가 반드시 집합 X에 포함되는 원소라는 것이다.

막연히 읽으면 뭔소린가 싶으니 하나의 예를 들어보자.

 

정수 범위 내에서 아무 정수 2개를 선택하여 더하기를 한다면 뭘 더해도 결과는 정수가 나온다.

이것을 연산에 대하여 닫혀 있다는 개념으로 보면

집합 X(모든 정수들)의 임의의 두 원소(아무 정수 2개)를 선택하여 어떠한 연산(+)을 해서 나온 결과가 반드시 집합X(모든 정수들)에 포함되는 원소(정수)라는 것이다.

 

간결하게 정수끼리는 뭘 더해도 정수가 나온다! 이러면 정수는 더하기에 대하여 닫혀 있다는 것이다.

 

자 그럼 이제 본격적으로 항등원부터 알아보자.

항등원이란?

이 글의 설명에서 집합 X는 실수의 집합을 지칭한다.

 

집합 X가 연산 *에 대하여 닫혀 있을 때, X의 임의의 원소 a에 대하여 a * e = e * a =a를 만족시키는 원소 e(e∈X)를 연산 *에 대한 항등원이라고 한다.

간단한 예 2가지를 들면

덧셈에 대한 항등원 : a + e = e + a = a 를 만족시키는 원소 e는 0

곱셈에 대한 항등원 : a × e = e × a = a 를 만족시키는 원소 e는 1

 

단순히 덧셈, 곱셈에 대한 항등원 구하는 건 너무나도 간단하지만 실제 응용하는 문제에서는 복잡한 연산에서 항등원 등을 구하라고 나올 것이기 때문에.... 개념을 확실하게 기억하자.

 

역원이란?

집합 X가 연산 *에 대하여 닫혀 있고,  e(e∈X)가 연산 *의 항등원일 때, X의 한 원소 a에 대하여 a * x = x * a = e를 만족시키는 x(x∈X) 연산 *에 대한 a의 역원이라고 한다.

쉽게 말하면 어떠한 연산 * 를 해서 결과가 항등원이 나오게 하는 a를 역원이라고 하는 것이다.

그래서 어떠한 연산에 대한 역원을 구하기 위해서는 항등원 부터 먼저 구해야 한다.

항등원의 예를 끌어와서 다시 예를 들어보자.

덧셈에 대한 항등원은 0 이므로 덧셈에 대한 역원 : a + x = x + a = 0 를 만족시키는 x = - a

곱셈에 대한 항등원은 1 이므로 곱셈에 대한 역원 : a × x= x × a = 1 를 만족시키는 x = 1/a

 

항등원과 역원을 이해하기 위한 예시

정말 슬프게도 실전에서는 단순히 덧셈에 대한 역원, 곱셈에 대한 역원을 구하라 이런 식으로는 문제가 나오지 않는다.

그러니 정확히 이해해야한다.

예시를 하나 들어보겠다.

 

임의의 실수 a, b에 대하여  a △ b = ab + a +b 일 때, 연산 △ 에 대한 4의 역원을 구하자.

역원을 구하기 위해서는? 우선 항등원부터 구해야 한다.

항등원을 e 라고 둔다면

 

a △ e = e △ a = ae + a + e = a

정리하면 (a+1)e = 0

여기서 (a+1)e가 0이 되게 하는 e는? 곱해서 0이 되어야 하니 e = 0이다.

따라서 연산 △ 에 대한 항등원 e는 0이다.

 

자 그럼 이제 역원을 구해보자

연산 △ 에 대한 4의 역원을 x 라고 둔다면.

4 △ x = x  △ 4 = 0(항등원)

4x + 4 + x = 0(항등원)

5x = - 4

x = - 4/5