수학적귀납법에 대하여 알아보자(+예시)

수학적귀납법이란?

수학적귀납법은 자연수 n에 관한 명제 P(n)이 모든 자연수 n에 대하여 성립함을 증명하는 특정한 방법을 말한다. 

다음과 같은 두 가지의 사실을 증명하는 것을 수학적귀납법이라고 하는데 그 두 가지가 뭐냐면

 

1. n=1 일 때, 명제 p(n)이 성립한다.

2. n=k 일 때, 명제 p(n)이 성립한다고 가정하면 n=k+1일 때도 명제 p(n)이 성립한다.

 

이것이 수학적귀납법이다.

 

수학적귀납법의 예시

모든 자연수 n에 대하여 명제 p(n) : 1+3+5+....+(2n-1)=n²이 성립함을 증명해보자.

수학적귀납법에 의하여

 

① n=1 일 때, → p(1)=1 이므로 p(n)은 성립한다.

② n=k 일 때, p(n)이 성립한다고 가정하면

　1+3+5+....+(2k-1)=k² 이다. 이 식 양변에 2(k+1)을 더해보자.

　1+3+5+....+(2k-1)+{2(k+1)-1}=k²+{2(k+1)-1}

　1+3+5+....+(2k-1)+{2(k+1)-1}=(k+1)²

　따라서, n=k+1일 때도 p(n)은 성립한다고 할 수 있다.