제이의 집

공간에서의 직선 공간안에는 무수히 많은 직선을 그을 수 있다. 두 개의 직선을 긋는 다면 이들의 위치 관계는 무조건 3가지 중의 하나로 분류된다. 이번 글에서는 공간에서 두 직선의 위치 관계에 대하여 알아보자. 위치 관계 3가지 하나씩 알아보도록 하자. 1. 한 점에서 만난다. ▲위의 그림 처럼 한 점에서 만나는 경우다. 이 경우 두 직선은 한 평면 위에 있다. 2. 평행. ▲평행의 의미를 모르는 사람은 없을 것이라고 생각한다. 이 역시 두 직선은 한 평면 위에 있는 것을 알 수 있다. 3. 꼬인 위치에 있는 경우. ▲세 번째로는 꼬인 위치에 있는 경우다. 한 평면 위에 있지 않은 두 직선이 만나지도 않고 평행하지도 않을 때 이 두직선은 서로 꼬인 위치에 있다고 말한다. 위 그림을 보면 직선 l과 m은 ..

미지수가 x, y로 이루어진 이차식이 주어졌을 경우 이 식이 실원을 되는지 안되는지 판단할 수 있는 방법은 2가지가 있다. 이번 글에서는 실원이 되는 조건을 구하는 방법 2가지에 대하여 알아보도록 하자. 일반형을 표준형으로 고쳐서 실원의 조건 구하기 다음과 같은 이차식을 가정해보자. ▲위 식은 원의 방정식의 일반형이다. 이것을 표준형 원의 방정식 즉, 완전제곱꼴로 고치도록 하자. 표준형으로 고쳤을 경우 반지름의 길이를 알 수 있다. 이 반지름의 길이가 0보다 크다면 실원이라 말을 할 수 있다. 이 사실을 기억하고 아래와 같이 식을 정리하자. ▲완전제곱꼴로 식을 고쳐서 문제는 푸는 방법은 가장 기본이 되는 응용 방법 중 하나다. 위와 같이 기하 관련 문제를 푸는 데도 유용하게 쓰인다. 원의 판별식을 이용하..

1. 계차와 계차수열 계차란 수열에서 나란히 이웃하는 두 항의 차를 말한다. 식으로 정리하면... 수열 an에서 이웃하는 두 항의 차 bn=an+1-an(n=1,2,3,...)를 an+1과 an의 계차라고 한다. 이때, 계차로 이루어진 수열 bn을 an의 계차수열이라고 한다. 이 경우 수열 an의 일반항은 아래와 같다. ▲쉽게 말하면 아래의 문장으로 요약이 가능하다.▲ [원수열의 일반항] = [원수열의 첫째항]+[계차수열의 첫째항부터 제 (n - 1)항까지의 합] 2. 계차수열 계산방법 계차수열의 계산방법은 나름의 절차가 있다. 첫째, 계차수열의 일반항 bn을 먼저 구한다. 둘째, 일반항 an을 구한다. 경우에 따라서 계차는 등차수열의 형태로 나타날 수도 있고 등비수열의 형태로 나타날 수도 있다. 즉 문..

삼각형의 무게중심 공식 삼각형의 무게중심의 정의는 간단명료하게 말하자면 삼각형의 세 중선의 교점을 말한다. 무게중심의 핵심적인 성질은 각 중선을 꼭지점으로부터 2 : 1로 내분한다는 것이다. 삼각형의 세 점을 A(x₁, y₁), B(x₂, y₂), C(x₃, y₃)라고 한다면 삼각형 ABC의 무게중심 G의 좌표를 아래와 같이 표현을 할 수 있다. ▲공식은 굉장히 쉽고 간단하다. 암기 난이도는 한 번만 스쳐가듯이 봐도 기억을 할 수 있는 정도다. 이번에는 이 공식이 과연 어떻게 나오는 것인지 증명을 해보도록 하자. 무게중심 증명하는 방법 증명하는 방법은 어렵지는 않으나 이래저래 귀찮은 계산이 좀 있다. 그러니 그냥 이런 거구나 정도로 생각하도록 하자. 삼각형의 세 점을 A(x₁,y₁), B(x₂, y₂),..

내분점과 외분점 공식 수직선 위의 두 점 A(x₁), B(x₂)를 잇는 선분 AB를 m:n으로 내분하는 점을 P, 외분하는 점을 Q라 하면 내분점과 외분점을 다음과 같은 공식으로 나타낼 수 있다. ▲기하 공부에 있어서 가장 기초적인 공식 중 하나이며, 구구단처럼 필수적인 내용이라고 말을 할 수 있다. 내분점의 공식 증명하는 방법 증명하는 것은 그리 어렵지 않다. 선분 AB를 m:n으로 내분한다는 것을 아래와 같이 그릴 수 있다.▼ 위 그림을 보면 한 가지 관계식을 만들어 낼 수 있다. 정확하게 비례식을 만들 수 있다.▼ 위의 비례식을 x에 대하여 정리해보자.▼ ▲생각보다 쉽게 내분점의 공식을 구할 수 있다. 외분점의 공식 증명하는 방법 외분점의 공식 증명하는 방법도 내분점과 크게 다르지 않다. 다만 외분..

모든 수학문제는 개념의 응용 수학 문제를 풀 때 항상 강조되는 문장이 있다. 개념이 가장 중요하다. 정말 백번 맞는 말이다. 결국 우리가 교육과정에서 접하는 모든 수학 문제는 개념의 응용이다. 변별력을 더한다면 개념의 응용에서 한 발자국 더 나아가 그 개념을 토대로 창의적인 사고를 요구한다. 원 위의 점에서 직선까지의 최소, 최대 거리를 구하는 것이 바로 좋은 예라고 생각한다. 이 문제는 개념의 응용과 창의적인 사고를 동시에 요구하는 문제다. 요구를 할 뿐이지 사실 굉장히 기본적인 수준의 문제다. 어떻게 풀 것인가? 단계적으로 생각해보자. 구하는 방법 ▲위에 보이는 것과 같이 원과 직선이 있다. 직선의 방정식과 원의 방정식이 주어진다면 여기서 알 수 있는 것은 무엇일까? 당연히 반지름의 길이를 알 수 있..

지표와 가수란? 상용로그 𝐥𝐨𝐠⁡𝑵의 값을 𝐥𝐨𝐠⁡𝑵=𝒏+𝐥𝐨𝐠⁡𝒂 (단, 𝒏은 정수, 𝟏≤𝒂≤𝟏𝟎)의 꼴로 나타낼 때, 정수 𝒏을 𝐥𝐨𝐠⁡𝑵의 지표라 하고 𝐥𝐨𝐠⁡𝒂의 값을 𝐥𝐨𝐠⁡𝑵의 가수라고 한다. 여기서 가수는 𝟎≤𝐥𝐨𝐠⁡𝒂 상용로그와 상용로그표 읽는 법 상용로그란? 상용로그는 10을 밑으로 하는 로그이며, 다시 말하면 log10N(N>0)을 상용로그라고 하며 보통 밑 10을 생략해서 나타낸다. 아래와 같이 나타낼 수 있다. 상용로그 표 읽는 법 log10, log10² houseofj.tistory.com 상용로그의 값이 음수인 경우 위에 예를 보면 상용로그의 값이 음수일 때가 있다. 이때, 지표와 가수를 쉽게 구별하기 위해 아래와 같이 표현하기로 약속한다. 쉽게 구별한다는 말이 잘 이해가 되지..

상용로그란? 상용로그는 10을 밑으로 하는 로그이며, 다시 말하면 log10N(N>0)을 상용로그라고 하며 보통 밑 10을 생략해서 나타낸다. 아래와 같이 나타낼 수 있다. 상용로그 표 읽는 법 log10, log10² 같은 것들은 아주 간단한 것을 넘어서서 구구단 튀어 나오듯이 값을 바로 알 수 있다. 하지만 log6.72 같은 로그의 값은 한 눈에 바로 아는 것은 불가능하고 보면 된다. 그래서 존재하는 것이 바로 상용로그 표다. 상용로그 표는 0.01 간격으로 1.00에서 9.99까지의 수에 대한 상용로그의 값을 반올림하여 소수 넷째 자리까지 구한 근사값을 나타낸 표다. 앞서 언급한 log6.72를 상용로그표를 이용해서 값을 찾아보자. ▲위에 보이는 표가 바로 상용로그표다. 읽는 방법은 정말로 간단하..

원의 접선의 방정식 원의 접선의 방정식을 구하는 방법은 몇 가지 있다. 하나는 판별식 D를 이용하는 것이고 다른 하나는 원의 중심에서 접선까지의 거리가 반지름의 길이와 같다는 원의 성질을 이용하는 것이다. 그리고 마지막 하나는 접선의 방정식 공식을 이용하는 것이다. 기울기가 m인 원의 접선의 방정식의 공식은 아래와 같다. ▲공식은 복잡하지 않고 매우 간단하고 또한 많이 사용되는 것이니 필히 암기하도록 하자. 증명하는 방법도 그리 어렵지 않다. 증명하기 증명의 과정은 생각보다 상당히 단순하다. 간단한 대입과 판별식을 사용하여 쉽게 증명된다. ▲결국 이 증명의 핵심은 바로 판별식D다. 거의 뭐 구구단 수준으로 쓰이는 것이니 잘 기억하도록 하자. ※ 함께 읽기 원의 판별식에 대하여 알아보자. 원의 방정식에 대..

삼차방정식 삼차방정식 ax³ + bx² + c + d = 0의 세 근을 α, β, γ라고 한다면 아래와 같은 관계가 성립된다. ▲자주 쓰이는 내용은 아니지만 알아두면 언젠가 문제를 풀 때 상당히 많은 시간을 단축할 수 있을 것이다. 왜 이러한 관계가 성립되는지 알아보자. 증명하기 증명하는 방법은 간단할뿐더러 뭔가 남들이 보고 우와~라고 할 만한 개념은 사용되지 않는다. 세 근 α, β, γ를 가지는 삼차방정식을 만들어 나열하면 손쉽게 증명이 가능하다. ▲증명과정 자체는 간단하지만 이래저래 식을 나열해야 하는 좀 귀찮은 과정이 포함되어 있다. 그러니 사실 자체를 잘 외워두도록 하자. ※ 함께 읽기 이차방정식의 근의 위치 판별하는 방법 근의 공식 및 유도하기 판별식 D에 대하여 알아보자.