계차수열에 대하여 알아보자

1. 계차와 계차수열

계차란 수열에서 나란히 이웃하는 두 항의 차를 말한다. 식으로 정리하면...

수열 a_n에서 이웃하는 두 항의 차 b_n=a_n+1-a_n(n=1,2,3,...)를 a_n+1과 a_n의 계차라고 한다. 이때, 계차로 이루어진 수열 b_n을 a_n의 계차수열이라고 한다. 이 경우 수열 a_n의 일반항은 아래와 같다.

 

 

 

▲쉽게 말하면

아래의 문장으로 요약이 가능하다.▲

 

[원수열의 일반항] = [원수열의 첫째항]+[계차수열의 첫째항부터 제 (n - 1)항까지의 합]

 

 

 

2. 계차수열 계산방법

계차수열의 계산방법은 나름의 절차가 있다.

 

첫째, 계차수열의 일반항 b_n을 먼저 구한다.

둘째, 일반항 a_n을 구한다.

 

경우에 따라서 계차는 등차수열의 형태로 나타날 수도 있고 등비수열의 형태로 나타날 수도 있다. 즉 문제마다 다르니 잘 파악해야 한다. 예를 들어보도록 하자.

 

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3. 예제

2, 5, 10, 17, 26,.... 으로 이루어진 수열의 일반항을 구해보자.

 

우선 원수열 a_n은 2, 5, 10, 17, 26, ...로 이루어져 있다. 이때 계차를 계산하여 나열하자.

계차수열 b_n은 3, 5, 7, 9, ....로 나타난다. 눈치가 빠른 사람이라면 이 계차수열은 첫째항이 3, 공차가 2인 등차수열을 이루고 있는 것을 단 번에 알 수 있다. 자 이제 문제를 풀기 위한 정보는 다 알아낸 것 같다. 정리하자.

 

 

 

 

 

▲문제 풀이 과정을 보면 알겠지만 계차수열에 관한 문제를 풀기 위해서는 합의 기호 ∑에 관한 공부가 먼저 선행되어야 한다. 하지만 내가 현재 기억하고 있는 교육과정상 계차수열 이전에 시그마∑에 관한 과정이 먼저 있는 것으로 알고 있다. 아무튼 계차수열도 계차수열 그 자체보다는 특수한 고난도 문제에 개념이 살짝 들어가는 형태로 많이 나오는 것 같다. 잘 익혀두도록 하자.

 

 

※ 함께 읽기 등차수열과 등차수열의 일반항, 등차중항 등차수열 합의 공식과 증명 및 일반항 구하기 등비수열의 합 공식 및 증명하기 등비수열과 등비수열의 일반항, 등비중항