제이의 집

두 원의 위치 관계의 종류 평면 위에 두 개의 원을 그리면 어떻게 그러던 두 원의 위치 관계는 6가지 중 하나에 해당된다. 그 6가지를 그림을 통하여 하나하나 살펴보자. 위와 같이 원이 2개가 있다면 두 원의 위치관계는 반드시 저 6가지 중 하나에 해당된다. 하지만 저 위치 관계를 파악하고자 매번 그림을 그릴 수도 없는 노릇. 원의 방정식이 주어진다 해도 제대로 판별할 수 있도록 그려내는 것은 어렵다. 시험 칠 때 모눈종이를 나눠주는 것도 아니고..... 두 원의 중심거리로 두 원의 위치 관계 파악하기 두 원의 방정식이 주어진다면 알 수 있는 것은 두 원의 반지름과 두 원의 중심좌표다. 중심 좌표를 알 수 있으니 계산하여 두 원의 중심거리를 구할 수 있다. 두 점사이의 거리를 구하기 위한 공식은 아래 글..

등비수열의 합 공식 등비수열이 수열에서 가장 많이 접하게 되듯이 등비수열의 합 공식 또한 많이 접하게 되는 공식 중 하나다. 등비수열의 첫째항을 a, 공비를 r이라고 하면, 첫째항부터 n항까지의 합 Sn은 다음과 같이 말할 수 있다. 참고로 등비수열의 합은 2가지 경우가 있다. 첫째는 공비가 1이 아닐 때 둘째는 공비가 1일 때 증명하기 등비수열의 합의 공식을 유도하는 것은 등차수열의 합의 공식을 유도하는 것과 비슷하지만 미묘한 차이가 있다. 기존의 Sn을 나열한 식과 이 식에 r을 곱한 식을 나열하여 연산하면 쉽게 유도할 수 있다. 아래를 보자. 등비수열의 합의 공식으로 일반항 구하기 등차수열의 합의 공식으로 일반항을 구하는 것과 전혀 다르지 않다. Sn-1에 an이 더해진 것이 Sn이다. 즉. Sn ..

천재 잼민이 가우스와 등차수열의 합의 공식 독일의 수학자 가우스가 잼민이인 시절 학교 선생님이 학생들에게 덧셈 문제를 냈다. 그 덧셈 문제는 1부터 100까지의 숫자를 더한 값이 얼마냐는 거였는데 다른 잼민이들이 애먹을 동안 격이 다른 천재 잼민이였던 가우스는 암산으로 순식간에 풀어내었다. 이때 가우스가 계산에 활용한 식이 등차수열의 합의 공식이다. 이 원리를 먼저 고안한 사람은 아니지만 잼민이시절에 저런 것을 생각해냈다는 것 자체가 가우스의 그릇이 남다르다는 것을 나타내 준다. 뭐 근데 이 일화가 사실인지는 모르겠다. 아무튼 일화가 사실이라면 이 때 가우스가 사용한 계산방법이 등차수열의 합의 공식이다. 첫째항이 a이고 공차가 d라면 등차수열의 합의 공식은 다음과 같다. 여기서 가우스가 계산에 활용한 식..

수열이란? 수열이란 어떤 일정한 규칙에 따라 차례로 나열된 수의 열을 말하며 수열의 각 수를 그 수열의 항이라고 한다. 예를 들면 수열을 a₁, a₂, a₃....으로 나열되어 있을 때 a₁을 첫째항, a₂을 둘째항이라고 한다. 그리고 여기서 n번째 항 an을 일반항이라고 말한다. 그럼 이제 이 글의 메인인 등차수열에 대하여 알아보도록 하겠다. 등차수열이란? 첫째항부터 차례로 일정한 수를 더해서 얻어지는 수열을 등차수열이라고 하며, 여기서 일정한 수를 공차라고 표현한다. 무슨 소리냐면 예를 들어 아래와 같이 1, 4, 7, 10, 13..... 과 같은 수열이 있다고 하자. 등차수열의 일반항 위와 같은 등차수열의 경우 항의 개수가 무한히 많다. 따라서 나열한다면 지구 한 바퀴를 돌아도 부족한 수준이다. ..

개요 판별식 D라는 것은 문과든 이과든 수학 공부를 하는 사람은 누구다 다 배우는 것이다. 판별식 D는 이차방정식의 해의 개수를 파악하기 위해 사용한다. 판별식 D에 관한 내용은 → 판별식 D 클릭 [이차방정식]판별식 D에 대하여 알아보자. 판별식 D란? 이차방정식 ax²+bx+c=0 에서 b²-4ac의 부호에 따라 이 방정식이 실근을 가지는지 허근을 가지는지를 판별할 수 있다. 따라서 판별식은 아래와 같이 정의한다. b²-4ac를 판별식이라고 부 houseofj.tistory.com 원의 판별식이란? 그런데 원의 방정식에도 사용할 수 있는 방정식이 있다. 원의 방정식도 결국은 이차방정식이기 때문에 비슷한 이론으로 접근할 수 있다. 그럼 이제 원의 판별식에 대하여 알아보자. 우선 일반형 원의 방정식을 가..

원과 직선의 위치 관계 세 가지 경우 좌표평면상에서 하나의 원과 하나의 직선을 무작정 그려보자. 초등학생이 그리던 피카소가 와서 그리던 원과 직선의 위치 관계는 무조건 세 가지 중의 하나에 해당된다. 세 가지는 과연 무엇인가??? 두 점에서 만나거나, 접하는 경우(=한 점에서 만나는 경우), 만나지 않는 경우다. 어떠한 용쓰는 재주가 있다고 해도 이 세 가지를 절대 벗어나지 않는다. 그림으로 보자. 식을 통하여 위치 관계 판별하기 그림을 그리면 복잡한 생각 없이 아주 직관적으로 바로 원과 직선의 위치 관계를 알 수 있다. 하지만 매번 그림을 그릴 수는 없다. 그러니 우리는 식으로 원과 직선의 위치 관계를 판별할 수 있어야 한다. 판별법은 크게 2가지가 있다. 하나하나 살펴보도록 하자. 판별식 D 사용하기..

개요 원뿔은 많이 접하게 되는 입체 도형중 하나다. 문제에서도 상당히 단골로 나오는 도형이기도 하다. 이번 글에서는 원뿔의 겉넓이와 부피 공식을 차례대로 살펴보도록 하겠다. 원뿔의 겉넓이 공식 원뿔의 겉넓이는 결국 원뿔의 옆면 + 원뿔의 밑면의 값이다. 아래와 같은 원뿔이 주어진다면 겉넓이는 다음과 같이 말할 수 있다. 밑면은 결국 원의 넓이니까 그리 어려운 내용이 아니다. 원의 넓이 구하는 방법을 모르겠다면 원의 둘레(원주)와 원의 넓이 구하기←클릭 문제는 옆면의 넓이를 구하는 것이다. 원뿔의 옆면은 모선을 반지름으로 하는 부채꼴의 넓이라는 것을 알 수 있다. 그럼 여기서 부채꼴의 넓이를 구하는 방법을 잠깐 살펴보자. 부채꼴의 넓이 구하는 식에는 부채꼴의 반지름과 호의 길이가 포함되어있다. 이것을 원뿔..

위치 관계의 종류 두 직선이 있다면 이 둘의 위치 관계는 4가지로 구분 된다. 평행한 경우, 일치하는 경우, 수직인 경우, 만나는 경우 뭐 어떻게 그어도 이 4가지를 벗어나지 않는다. 좌표평면상에서 보면 아래와 같다. 이 4가지의 위치 관계를 말로서 표현하면 아래와 같은 의미를 가진다. 두 직선의 평행 조건 두 직선의 기울기가 같고 y절편이 다르다. 두 직선의 일치 조건 두 직선의 기울기와 y절편이 같다. 두 직선의 수직 조건 두 직선의 기울기의 곱은 = -1 이다. 두 직선이 만날 조건 기울기가 다르다. 두 직선이 수직이 될 조건이 왜 기울기의 곱 = -1인지 모르겠다면 아래글을 참고하자. ※두 직선이 수직일 조건과 증명하기 ← 클릭 두 직선이 수직일 조건과 증명하기 두 직선이 수직일 조건 임의의 두 ..

개요 모든 각뿔의 부피는 각기둥의 부피의 3분의 1을 곱하면 된다는 것을 어린 시절부터 배워왔을 것이다. 이 공식은 초중학교 시절에 배우는 것으로 기억하고 있는데 왜 이렇게 계산하면 되는지에 대한 것은 배우지 않았을 것이다. 해당 내용을 증명하려면 고등학교 수학과정의 지식이 필요하기 때문이다. 그럼 지금부터 한번 알아보자. 증명하는 방법 : 구분구적법 해당 내용은 구분구적법을 통하여 설명할 수 있다. 구분구적법이란 도형의 넓이나 부피를 구할 대 주어진 도형을 작은 기본 도형으로 세분하여 세분된 기본 도형의 넓이나 부피의 합을 근삿값으로 구하고 이 값을 극한값으로 넓이나 부피를 구하는 방법이다. 그렇다면 이제 구분구적법을 통하여 뿔의 부피는 기둥의 부피의 3분의1임을 보여보겠다. 해당 내용은 사전 지식을 ..

구의 정의 구의 정의를 살펴보기 전에 원의 정의부터 잠깐 언급해보자. 원이란 한 정점으로부터 일정한 거리에 있는 점의 자취를 말한다. 이때 한 정점이 원의 중심이 되고 일정한 거리에 있는 점과 원의 중심을 잇는 선분은 반지름이 되는 것이다. 그리고 원은 x, y축으로 이루어진 2차원 도형이다. 원에 대한 내용은 아래를 참고하자 원의 방정식에 대하여 알아보자. 그렇다면 구는 무엇일까? 구는 원의 정의의 개념을 3차원으로 옮긴 것이다. 원은 x, y축으로 이루어진 2차원 도형이라면 구는 x, y, z로 이루어진 3차원 입체도형이다. 정리하면 구는 공간에서 한 정점으로부터 일정한 거리에 있는 점 자취를 말한다. 그리고 이 일정한 거리는 구의 반지름의 길이가 된다. 자취라는 의미를 잘 모르겠다면 아래를 참고하자..