원뿔의 겉넓이와 부피 공식 및 증명하기

개요

원뿔은 많이 접하게 되는 입체 도형중 하나다. 문제에서도 상당히 단골로 나오는 도형이기도 하다. 이번 글에서는 원뿔의 겉넓이와 부피 공식을 차례대로 살펴보도록 하겠다.

 

원뿔의 겉넓이 공식

원뿔의 겉넓이는 결국 원뿔의 옆면 + 원뿔의 밑면의 값이다.

아래와 같은 원뿔이 주어진다면 겉넓이는 다음과 같이 말할 수 있다.

 

 

밑면은 결국 원의 넓이니까 그리 어려운 내용이 아니다.

원의 넓이 구하는 방법을 모르겠다면

원의 둘레(원주)와 원의 넓이 구하기←클릭

 

문제는 옆면의 넓이를 구하는 것이다. 원뿔의 옆면은 모선을 반지름으로 하는 부채꼴의 넓이라는 것을 알 수 있다.

그럼 여기서 부채꼴의 넓이를 구하는 방법을 잠깐 살펴보자.

 

부채꼴의 넓이 구하는 식

 

부채꼴의 넓이 구하는 식에는 부채꼴의 반지름과 호의 길이가 포함되어있다. 이것을 원뿔로 끌어와서 생각해보자.

부채꼴의 반지름은 원뿔의 모선의 길이고 호의 길이는 밑면의 둘레 즉 밑면은 원이니 원주의 길이가 되는 것이다.

이 사실은 반드시 기억해야한다. 어렵지 않은 사실이지만 기억하지 못한다면 정말 낭패 본다....

그러면 이제 원뿔의 모선의 길이를 구해보자. 모선의 길이는 구하는 것은 간단하다.

 

 

간단하게 피타고라스의 정리를 이용하며 모선의 길이를 쉽게 구할 수 있다. 모선의 길이를 구했다면 이제 원뿔을 펼쳐보자.

 

 

 

펼쳐보면 옆면은 부채꼴이라는 것을 확실하게 알 수 있으며 호의 길이는 밑면을 이루는 원의 원주, 부채꼴의 반지름은 모선의 길이라는 것을 다시 확인할 수 있다. 원주의 길이는 2πr 이다. 그럼 이제 옆면을 구하기 위한 모든 길이를 알게 되었으니 부채꼴의 넓이를 구하는 공식에 대입하여 적용시켜보자.

 

 

이렇게 해서 원뿔의 옆면의 넓이를 구하는 식을 끌어낼 수 있다.

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원뿔의 부피 구하기

원뿔의 부피를 구하는 식은 잘 알려져 있다.

밑면의 넓이 X 높이 X 1/3 이므로 식으로 표현하면

 

 

왜 3분의 1을 곱해야 하는지를 알고 싶다면 아래의 글을 참조하자.

뿔의 부피는 왜 기둥의 부피의 3분의 1일까????

뿔의 부피는 왜 기둥의 부피의 3분의1일까????