정사각뿔 높이, 겉넓이, 부피 구하는 공식 및 증명

정사각뿔이란?

정사각뿔은 밑면이 정사각형, 옆면이 이등변삼각형으로 이루어진 입체 도형을 말한다.
그림으로 보자면 아래와 같다.

▲수학공부를 하면서 자주 접하는 도형이기도 하다. 이번 글에서는 정사각뿔의 높이, 겉넓이, 부피 구하는 공식과 이에 대하여 증명하는 방법을 알아보도록 하겠다.

정사각뿔의 높이

정사각뿔의 높이 공식은 아래와 같다.

증명하는 방법은 어렵지 않다. 정사각뿔의 밑면에 선 하나를 그어보자.

▲밑면에 선 하나를 그으면 하늘색 삼각형이 하나 만들어진다. 오른쪽처럼 하늘색 삼각형을 따로 놓고 본다면 피타고라스의 정리를 활용하여 높이 h를 구할 수 있다. 그렇다면 저 하늘색 삼각형의 밑변의 길이는 어떻게 나온걸까?

▲이번에는 정사각뿔의 밑면을 따로 가져와보자. 위 그림같이 선이 그어진다면 직각이등변삼각형이 만들어진다. 여기서 삼각함수 공식을 통하여 변의 길이를 구할 수 있다.

▲다시 하늘색 삼각형으로 돌아가서 피타고라스의 정리를 활용하면 높이 h는 위와 같이 구할 수 있다.

정사각뿔의 겉넓이

누구나 다 아는 사실이지만 겉넓이는 = 밑면의 넓이 + 옆면의 넓이다.
식으로 쓰면 아래와 같다.

밑면의 넓이는 한 변의 길이가 a인 정사각형의 넓이니 a²으로 그리 어렵지 않게 구할 수 있다.
문제는 옆면의 넓이인데.... 옆면의 넓이는 결국 이등변삼각형 4개의 넓이의 합이라고 말할 수 있다. 그럼 이제 옆면을 이루고 있는 이등변삼각형 하나의 넓이를 구해보자.

우선 옆면을 하나 따로 가져와보자.

▲그림처럼 옆면 삼각형의 높이는 위와 같은 식으로 구할 수 있다. 높이를 구했으니 이제 밑면과 곱하여 삼각형의 넓이를 구할 수 있을 것이며 이 삼각형 4개의 넓이가 곧 정사각뿔 옆면의 넓이가 된다. 정리하면...

 

정사각뿔의 부피

부피 공식은 아래와 같다.

▲기본적으로 입체 도형의 부피는 밑면의 넓이 X 높이 X 1/3 이다. 정사각뿔 역시 마찬가지이며 높이 h는 앞서 구한 값을 대입시키면 완성된다. 왜 부피 계산에는 X 1/3이 들어가는지 알고 싶다면 아래의 글을 참조하자.

클릭→뿔의 부피는 왜 기둥의 부피의 3분의 1일까????