부채꼴의 호의 길이와 부채꼴의 넓이 공식 및 증명하기

부채꼴의 호의 길이 공식

아래와 같은 부채꼴이 있을 때, 호의 길이는 다음과 같은 식으로 나타낼 수 있다.

 

 

 

 

 

부채꼴의 넓이는 다음과 같이 나타낼 수 있다.

 

 

 

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증명하기

어쩌면 공식보다도 중요한 것이 호의 길이 공식, 부채꼴의 넓이 유도 과정이라고 생각된다. 유도 과정에서 쓰이는 내용이 꽤 복잡한 문제에서 의외로 활약하기 때문이다.

 

증명의 핵심은 호의 길이는 중심각의 크기에 비례하다는 것, 그리고 부채꼴의 넓이 또한 중심각의 크기에 비례한다는 것이다. 아니 이게 다라고 보면 된다. 아니 이게 다다.

우선 원주와 원은 넓이를 구하는 공식부터 알아야 한다.

원주와 원의 넓이를 구하는 방법은 아래 글을 참고하지.

→원의 둘레(원주)와 원의 넓이 구하기

내용을 익혔다면 각도가 2π일때의 경우 비례식을 세우자. 각도가 2π 일때의 호의 길이는 원주가 되는 것이고 부채꼴의 넓이는 곧 원의 넓이를 말하는 것이니까!

우선 부채꼴의 호의 길이에 관련된 비례식을 세워 정리하자.

 

 

 

 

 

 

부채꼴의 넓이도 호의 길이와 마찬가지로 같은 방법으로 비례식을 세워 정리하면 된다.

 

 

 

 

 

증명하는 방법은 읽어보면 알겠지만 아주 간단하다. 간단하지만 이 증명에 사용된 내용은 매우 매우 중요하다.

다시 한번 기억하자.

호의 길이는 중심각의 크기에 비례하다는 것, 그리고 부채꼴의 넓이 또한 중심각의 크기에 비례한다는 것이다.