제이의 집

평면의 성질 두 점 A, B를 지나는 직선 AB를 포함하는 평면은 무수히 많다. 이건 뭐 당연한 사실이다. 하지만 아래의 그림의 경우는 어떨까? ▲그림과 같이 한 직선 AB 위에 있지 않은 한 점 C를 지나는 평면은 오직 하나뿐이다. 이 성질을 기본으로 하여 하나의 평면을 결정할 수 있는 4가지의 조건을 만들 수 있다. 평면의 결정 조건 4가지 1. 한 직선 위에 있지 않은 세 점을 포함하는 평면은 오직 하나뿐이다.▼ 2. 한 직선과 그 직선 위에 있지 않은 한 점을 포함하는 평면은 오직 하나뿐이다.▼ 3. 서로 만나는 두 직선을 포함하는 평면은 오직 하나뿐이다.▼ 4. 서로 평행한 두 직선을 포함하는 평면은 오직 하나뿐이다.▼ 평면의 결정 조건은 고난도의 기하학 문제를 풀 경우 간혹 중요한 포인트가 되..

두 점을 지나는 직선의 기울기 구하기 두 점을 지나는 직선의 기울기를 구하기 위해서는 한 점을 기준으로 y의 증가량에 x의 증가량을 나누면 구할 수 있다. 이것을 공식처럼 나타내면 아래와 같다. ▲모를리는 없겠지만 이 내용을 잘 기억하도록 하자. 세 점이 일직선 위에 있을 조건 세 점이 일직선 위에 있다는 것은 그림으로 표현하면 아래와 같이 말할 수 있다. ▲위 그림에서는 여러 가지 사실을 알 수 있는데, 중요한 것은 결국 세 점은 같은 직선상에 있으니 그 어떠한 점을 서로 연결해도 기울기는 같다는 것이다. 이 사실을 인지하고 있을 경우 세 점이 일직선 위에 있을 조건은 다음과 같이 말할 수 있다. ▲가장 먼저 언급하였던 두 점을 지나는 직선의 기울기 식을 사용하여 위의 내용에 적용시키면 된다. 세 점이..

정팔각형 정팔각형. 여덟 개의 변의 길이가 같은 도형을 말한다. 공부하면서 잘 접할 기회가 없는 도형이기도 하다. 하지만 정팔각형의 넓이 공식, 그리고 이것을 유도하는 과정은 기하에 관련된 문제를 푸는데 활용을 할 기회가 있을 것이다. 이번 글에서는 정팔각형의 넓이 공식 및 유도하는 방법에 대하여 알아보도록 하자. 정팔각형의 넓이 공식 및 유도 한 변의 길이가 a인 정팔각형을 예로 들어보자. ▲막연하게 정팔각형을 본다면 이것의 넓이를 어떻게 구하지?라는 생각이 들 것이다. 아래의 그림과 같이 선을 그어서 정사각형으로 만들어보자. ▲선을 그어서 정사각형을 만들면 이 정사각형의 넓이는 한 변의 길이가 a인 정팔각형의 넓이와 위 그림에서 만들어진 4개의 직각이등변삼각형의 넓이를 합한 값이 될 것이다. 다시 말..

근의 위치를 판별하는 기준 이차방정식 ax²+bx+c=0 (a>0)의 두 근을 α, β(α≤β), D=b²-4ac라 할 때, 두 근 α, β와 임의의 상수 k를 활용하여 아래와 같은 3가지 조건으로 근의 위치를 판별할 수 있다. ① 판별식 D≥0 ② f(k)의 부호 ③ 꼭지점의 x좌표 (α+β)/2와 k의 대소 관계 그럼 이제부터 근의 위치 판별을 해보도록 하겠다. 근의 위치 판별 근의 위치 판별은 그리 어려운 것이 아니다. 막상 식만 보면 잘 모를 수 있으나, 좌표평면에 그려서 보면 굉장히 간단하고 직관적으로 판단이 가능하여 이해하기가 쉽다. 1. 두 근 α, β가 k 보다 클 조건 2. 두 근 α, β가 k보다 작을 조건 3. k가 두근 α, β사이에 있을 조건 4. 두 근 α, β가 k'와 k(k'

0의 힘 0이라는 숫자는 수많은 실수 중에서도 가장 특별한 수라고 생각한다. 그 어떤 수에 0을 더하거나 빼더라도 그 수는 변함이 없다. 그러나 0을 곱하게 된다면 그 수는 무엇이든 간에 0이 된다. 숫자의 본 형태를 아주 간단하게 있는 그대로의 모습으로 유지를 시켜주거나 아니면 자신과 똑같은 0으로 바꾸는 숫자 0. 굉장히 특별하지 않은가? 0을 곱하면 0이 되는 이유 모든 숫자에 0을 곱하면 0이 된다. 이 사실은 갓난 아기가 한글을 깨치는 것 마냥 자연스럽게 받아들이는 내용이다. 자연스럽게 받아들이니 왜?라는 생각을 가진 적이 거의 없을 것이다. 그래서 모든 수에 0을 곱하면 0이 되는 이유 즉, 0을 곱하면 0이 되는 것을 증명을 해보도록 하자. 이 글에서는 2가지의 증명하는 방법을 서술하도록 하..

공식은 만들 수 있다. 수학에서는 무수히 많은 공식들이 있다. 정확하게 말하면 무수히 많은 공식들을 만들 수 있다. 극단적인 예를 들면 임의의 수 a에 이와 같은 크기의 수를 더한 값(a + a)을 구하는 공식은 2a다. 이것을 보고 정말 어이가 없다 이게 무슨 공식이냐라고 말하는 사람도 있을 것이다. 하지만 이것은 공식이라고 말할 수 있다. 다만 공식화할 필요가 없을 정도로 너무나도 간단하거나 생각하기 쉬운 내용이기 때문이다. 아주 오래전부터 수많은 공식들이 만들어졌고 그중 정말 편리하고 유용하게 쓰이는 것들이 지금까지 내려와 우리의 교과과정에 실리게 되었다고 생각하면 된다. 서론이 좀 길었지만 내가 지금 이 이야기를 한 이유는 정육각형 넓이 공식은 위와 같은 논리와 다르지 않다는 것을 말하는 것이다...

삼수선의 정리 공간상에서 직선과 평면의 수직에 대하여 특이한 성질 몇 가지가 있다. ① 점 P에서 평면 α에 내린 수선의 발을 A, A에서 l에 그은 수선의 발을 B라고 하면 아래와 같은 내용이 성립한다. ② 점 P에서 평면 α에 내린 수선의 발을 A, P에서 l에 그은 수선의 발을 B라고 하면 아래와 같은 내용이 성립한다. ③ 점 P에서 l에 그은 수선의 발을 B, 평면 α 위에서 B를 지나 l에 수직인 직선을 긋고 점 P에서 이 직선에 내린 수선의 발을 A라고 한다면 아래와 같은 내용이 성립한다. 위 3가지의 성질을 삼수선의 정리라고 한다. 기하 문제를 푸는데 있어서 반드시 알아야 하는 필수적인 내용이다. 삼수선의 정리 증명하기 위의 3가지의 정리를 순서대로 증명을 하도록 하겠다. 첫 번째. 두 번째..

직육면체 대각선 길이 공식 이번 글에서는 직육면체 대각선 길이를 구하는 방법에 대하여 알아보자. 결론부터 말하면 아래와 같은 직육면체가 주어진다면 대각선의 길이는 다음과 같다. ▲공식이 아주 간단하기 때문에 암기하기도 쉽다. 왜 이런 공식이 나오는지에 대하여 알아보자. 공식 증명하기 증명하는 방법은 사실 그리 어렵지 않다. 피타고라스의 정리를 사용하여 쉽게 증명이 가능하다. 우선 직육면체의 밑면에 선을 하나 그어주자. ▲밑면에 선을 하나 더 그어준다면 2개의 직각삼각형 △ABC, △BCD가 만들어진다. 선분BC의 길이를 알면 피타고라스의 정리를 사용하여 직육면체 대각선인 선분BD를 구할 수 있다. 그럼 선분 BC를 구하려면??? 역시 이것도 피타고리스의 정리를 사용하여 쉽게 알 수 있다. 자 그러면 차례..

정사각뿔이란? 정사각뿔은 밑면이 정사각형, 옆면이 이등변삼각형으로 이루어진 입체 도형을 말한다. 그림으로 보자면 아래와 같다. ▲수학공부를 하면서 자주 접하는 도형이기도 하다. 이번 글에서는 정사각뿔의 높이, 겉넓이, 부피 구하는 공식과 이에 대하여 증명하는 방법을 알아보도록 하겠다. 정사각뿔의 높이 정사각뿔의 높이 공식은 아래와 같다. 증명하는 방법은 어렵지 않다. 정사각뿔의 밑면에 선 하나를 그어보자. ▲밑면에 선 하나를 그으면 하늘색 삼각형이 하나 만들어진다. 오른쪽처럼 하늘색 삼각형을 따로 놓고 본다면 피타고라스의 정리를 활용하여 높이 h를 구할 수 있다. 그렇다면 저 하늘색 삼각형의 밑변의 길이는 어떻게 나온걸까? ▲이번에는 정사각뿔의 밑면을 따로 가져와보자. 위 그림같이 선이 그어진다면 직각이..

공통외접선과 공통내접선이란? 우선 공통외접선이 뭔지 공통내접선이 뭔지 알아보자. 공통외접선 : 두 원이 공통접선에 대하여 같은 쪽에 있는 접선을 말한다. 공통내접선 : 두 원이 공통접선에 대하여 반대쪽에 있을 때를 말한다. 사실 글로만 보면 이게 뭔소린가 싶은 사람들도 있을 것이다. 그림으로 보면 쉽게 뭔지 알 수 있다. 공통외접선과 공통내접선 길이 공식 및 증명하기 두 원의 중심사이의 거리와 각각 원의 반지름의 길이를 안다면 공통외접선 및 공통내접선의 길이를 구할 수 있다. 이건 공식으로 널리 알려져 있는데 공식은 아래와 같다. 원 O의 반지름을 r, 원 O'의 반지름을 r', d를 두 원의 중심사이의 거리라고 한다면 증명하기 증명하는 방법은 어렵지 않다. 공통외접선의 길이 공식 증명↓ 공통내접선의 길..