제이의 집

내접원의 반지름의 길이를 알 때 삼각형의 넓이 삼각형에 내접하는 원의 반지름을 알 경우 간단한 방법으로 삼각형의 넓이를 구할 수 있다. 위와 같이 내접원의 반지름의 길이가 r이고 각 변의 길이가 a, b, c인 삼각형이 주어졌을 때 삼각형의 넓이는 아래와 같이 나타낼 수 있다. 공식 유도하기 조금만 생각해보면 이 공식은 그리 어렵게 유도되는 공식이 아니라는 것을 알 수 있다. 위 그림와 같이 △ABC의 내접원의 중심을 I, 반지름의 길이를 r이라고 하면 △ABC의 넓이는 각 밑변이 a, b, c이고 높이가 r인 삼각형 3개의 넓이의 합이라고 말할 수 있다. 이것을 풀어쓰면 공식이 완성된다. 가끔 고난이도 문제에서 조커 같은 역할을 하는 공식이기도 하다. 실전에서 중요한 것을 공식 자체를 기억해내는 것보다..

평면 위의 두 점 사이의 거리 공식 좌표평면 위의 두 점 A(x₁, y₁), B(x₂, y₂) 사이의 거리 선분 AB는 아래와 같이 표현할 수 있다. 사실 이건 구구단 수준의 공식이다. 다만 이게 왜 이렇게 되는지 모르는 사람들이 꽤 있다. 이 공식을 유도해보겠다. 증명 및 유도 이 공식은 좌표평면 위의 두 점 사이의 거리를 나타내는 것이다. 따라서 지극히 당연하게도 좌표평면 상에서 공식을 유도를 할 수 있다. 위의 그림에서 두 점 A(x₁, y₁), B(x₂, y₂) 사이의 거리 선분 AB는 직각삼각형 ABC의 빗변의 길이와 같다. 따라서, 피타고라스의 정리를 이용하면 된다. 이용해보자. 따라서 두 점 사이의 거리는 그리 어려운 내용은 아니니 잘 숙지해두도록 하자. 같이 보기 피타고라스의 정리 증명하기

헤론의 공식 세 변의 길이를 알 때 헤론의 공식이라는 것을 이용해서 삼각형의 넓이를 구할 수 있다. 요런 삼각형이 주어졌을 때 넓이는 다음과 같이 구할 수 있다. 이것을 헤론의 공식이라고 한다. 헤론의 공식 유도하기 이 공식을 유도하기 위해서는 두 가지의 사전 지식이 필요하다 ① 두 변과 그 끼인각을 알 때의 삼각형의 넓이 구하는 공식 두 변과 그 끼인각을 알 때의 삼각형의 넓이 공식 및 증명하기 삼각형의 넓이 공식 및 증명하기 개요 모든 삼각형은 두 변의 길이와 그 사이 각의 크기만 알면 넓이를 구할 수 있고 공식화하여 표현할 수 있다. 삼각형의 넓이를 구하는 법을 알아보자. 공식 아래와 같은 삼각형을 가정해보자. houseofj.tistory.com ② 제2코사인법칙 제2코사인법칙 공식 및 유도과정 ..

제2코사인법칙이란? 임의의 삼각형이 주어졌을 때, 제1코사인법칙과 제2코사인법칙이 성립된다. 다음과 같은 삼각형이 주어졌을 때 다음과 같은 식이 성립한다. 위의 식을 제2코사인법칙이라고 한다. 상당히 많이 쓰이는 공식이며 식을 변형해서 많이 쓰기도 한다.↓ 공식 유도하기 제2코사인법칙은 모든 삼각형에서 증명이 가능하다. △ABC의 꼭지점 B에서 밑변 또는 그 연장선 위에 내린 수선의 발을 D, 선분BD=h, 선분AD=x라고 두자. 1. 예각삼각형의 경우 2. 둔각삼각형의 경우 3. 직각삼각형의 경우 똑같은 방법으로 b, c 꼴로도 정리할 수 있으니, 위의 증명과정을 참고하여 b, c도 직접 공식을 유도하면서 이해하며 암기하도록 하자. 함께 읽기 제1코사인법칙 및 유도과정에 대하여 알아보자 제1코사인법칙 ..

이번 글에서는 원기둥의 겉넓이와 부피를 구하는 방법에 대하여 알아보자. 원기둥의 형태인 입체도형은 학교 시험뿐만이 아니라 공대 출신으로 관련된 일을 하는 사람은 실무적으로 상당히 많이 접하게 되는 입체도형 중 하나라고 생각된다. 원기둥의 겉넓이 간단한 사실이지만 겉넓이는 옆면의 넓이 + 밑면의 넓이 + 윗면의 넓이라고 할 수 있다. 당연히 밑면의 넓이 = 윗면의 넓이다. 식으로 차례로 적어보자. 면의 넓이와 원주 값이 왜 저렇게 나오는지 잘 모른다면 아래의 글을 참조하자. 원의 둘레(원주)와 원의 넓이 구하기 원의 둘레(원주)와 원의 넓이 구하기 개요 원은 어떠한 공부를 하던지 간에 가장 많이 보는 모양의 도형 중 하나다. 기본적으로 원의 둘레와 원의 넓이를 구할줄은 알아야 한다. 어떻게 구하는지 알아보..

파포스의 중선정리란? 그림을 보자. △ABC의 변 BC의 중점을 M이라고 할 때, 중선인 선분AM에 대하여 아래와 같은 식이 성립된다. 이것을 파포스의 중선정리라고 한다. 증명 파포스의 중선정리는 위의 그림을 좌표평면상으로 옮기면 쉽게 증명할 수 있다. 선분BC를 X축에, 선분BC의 중점M을 원점으로 잡아 다른 꼭지점들의 좌표를 A(a, b), B(-c, 0), C(c, 0) 라고 둔다면.... 다음과 같이 정리할 수 있다.

정사면체란? 정사면체는 각 면이 모두 합동인 정삼각형으로 이루어진 다면체를 말한다. 사면체이니 면의 개수는 당연히 4개가 된다. 그리고 한 각 모서리에서 만나는 면들끼리 이루는 각의 크기도 모두 같다. 아무튼 이번 글에서는 한 변의 길이가 a인 정사면체의 겉넓이, 높이, 부피를 구하는 공식에 대하여 알아보기로 하자. 정사면체의 겉넓이 한 변의 길이가 a인 정사면체가 있다. 이 정사면체의 겉넓이는 한 변의 길이가 a인 정삼각형 4개의 합이라고 말할 수 있다. 이것을 식으로 써본다면 왜 한 변의 길이가 a인 정삼각형의 넓이가 저렇게 나오는지 모르겠다면 아래 글을 참조하자. 정삼각형의 넓이 공식 및 유도 정삼각형의 넓이 공식 및 유도 개요 한 변의 길이를 알고 있다면 정삼각형의 높이와 넓이를 구할 수 있으며 ..

구의 겉넓이와 부피 공식 이번 글에서는 구의 겉넓이와 부피를 구하는 공식에 대하여 알아보겠다. 반지름이 r이라면 다음과 같이 공식을 쓸 수 있다. 겉넓이 공식을 적분하면 부피 공식이 되며, 부피 공식을 미분하면 겉넓이 공식이 나오니 참고할 것.

제1코사인법칙이란? 다음과 같은 삼각형이 있다고 보자 이때 아래와 같은 공식들이 성립한다. 이것을 제1코사인법칙이라고 한다. 제1코사인법칙 유도 과정 제1코사인법칙은 모든 삼각형에서 증명이 가능하다. △ABC의 꼭지점 A에서 밑변 또는 그 연장선 위에 내린 수선의 발을 D라고 한다면, 다음과 같이 식을 세울 수 있다. 1. 예각삼각형의 경우 2. 둔각삼각형의 경우 여기서 삼각형의 보각 공식을 적용시키면 변환된 이 식을 다시 대입하면 3. 직각삼각형 직각삼각형은 따로 수선의 발을 그을 필요가 없다. 직각이니까! 그런데 여기서 cos90°=0이므로 cosC는 = 0 이다. 따라서 아래처럼 표현을 다시 쓸 수 있다. a뿐만 아니라 b, c도 같은 방법으로 표현이 가능하니, 위의 과정을 잘 보고 b와 c를 제1..

n각형 대각선 수 공식 다각형의 대각선 개수 즉, n각형의 대각선 개수를 구하는 공식은 다음과 같다. 유도 단계적으로 생각하면 공식을 유도해내는 것은 그리 어렵지 않다. 사각형, 오각형, 육각형을 예로 들어보자. 첫 째 모든 도형에서 한 꼭지점에서 대각선을 그을 때 자기 자신 및 양 옆 꼭지점에는 선을 그을 수 없다. 정리하면 n각형의 한 꼭지점 에서 그을 수 있는 대각선의 개수는 n - 1(자기자신) - 2(양 옆) = n - 3이 된다. 정리하면 사각형의 한 꼭지점에서 그을 수 있는 대각선의 개수 : 4 - 3 = 1 오각형의 한 꼭지점에서 그을 수 있는 대각선의 개수 : 5 - 3 = 2 육각형의 한 꼭지점에서 그을 수 있는 대각선의 개수 : 6 - 3 = 3 둘째 n각형에서 한 꼭지점당 n - 3..