제이의 집

수열이란? 수열이란 어떤 일정한 규칙에 따라 차례로 나열된 수의 열을 말하며 수열의 각 수를 그 수열의 항이라고 한다. 예를 들면 수열을 a₁, a₂, a₃....으로 나열되어 있을 때 a₁을 첫째항, a₂을 둘째항이라고 한다. 그리고 여기서 n번째 항 an을 일반항이라고 말한다. 그럼 이제 이 글의 메인인 등차수열에 대하여 알아보도록 하겠다. 등차수열이란? 첫째항부터 차례로 일정한 수를 더해서 얻어지는 수열을 등차수열이라고 하며, 여기서 일정한 수를 공차라고 표현한다. 무슨 소리냐면 예를 들어 아래와 같이 1, 4, 7, 10, 13..... 과 같은 수열이 있다고 하자. 등차수열의 일반항 위와 같은 등차수열의 경우 항의 개수가 무한히 많다. 따라서 나열한다면 지구 한 바퀴를 돌아도 부족한 수준이다. ..

개요 판별식 D라는 것은 문과든 이과든 수학 공부를 하는 사람은 누구다 다 배우는 것이다. 판별식 D는 이차방정식의 해의 개수를 파악하기 위해 사용한다. 판별식 D에 관한 내용은 → 판별식 D 클릭 [이차방정식]판별식 D에 대하여 알아보자. 판별식 D란? 이차방정식 ax²+bx+c=0 에서 b²-4ac의 부호에 따라 이 방정식이 실근을 가지는지 허근을 가지는지를 판별할 수 있다. 따라서 판별식은 아래와 같이 정의한다. b²-4ac를 판별식이라고 부 houseofj.tistory.com 원의 판별식이란? 그런데 원의 방정식에도 사용할 수 있는 방정식이 있다. 원의 방정식도 결국은 이차방정식이기 때문에 비슷한 이론으로 접근할 수 있다. 그럼 이제 원의 판별식에 대하여 알아보자. 우선 일반형 원의 방정식을 가..

원과 직선의 위치 관계 세 가지 경우 좌표평면상에서 하나의 원과 하나의 직선을 무작정 그려보자. 초등학생이 그리던 피카소가 와서 그리던 원과 직선의 위치 관계는 무조건 세 가지 중의 하나에 해당된다. 세 가지는 과연 무엇인가??? 두 점에서 만나거나, 접하는 경우(=한 점에서 만나는 경우), 만나지 않는 경우다. 어떠한 용쓰는 재주가 있다고 해도 이 세 가지를 절대 벗어나지 않는다. 그림으로 보자. 식을 통하여 위치 관계 판별하기 그림을 그리면 복잡한 생각 없이 아주 직관적으로 바로 원과 직선의 위치 관계를 알 수 있다. 하지만 매번 그림을 그릴 수는 없다. 그러니 우리는 식으로 원과 직선의 위치 관계를 판별할 수 있어야 한다. 판별법은 크게 2가지가 있다. 하나하나 살펴보도록 하자. 판별식 D 사용하기..

개요 원뿔은 많이 접하게 되는 입체 도형중 하나다. 문제에서도 상당히 단골로 나오는 도형이기도 하다. 이번 글에서는 원뿔의 겉넓이와 부피 공식을 차례대로 살펴보도록 하겠다. 원뿔의 겉넓이 공식 원뿔의 겉넓이는 결국 원뿔의 옆면 + 원뿔의 밑면의 값이다. 아래와 같은 원뿔이 주어진다면 겉넓이는 다음과 같이 말할 수 있다. 밑면은 결국 원의 넓이니까 그리 어려운 내용이 아니다. 원의 넓이 구하는 방법을 모르겠다면 원의 둘레(원주)와 원의 넓이 구하기←클릭 문제는 옆면의 넓이를 구하는 것이다. 원뿔의 옆면은 모선을 반지름으로 하는 부채꼴의 넓이라는 것을 알 수 있다. 그럼 여기서 부채꼴의 넓이를 구하는 방법을 잠깐 살펴보자. 부채꼴의 넓이 구하는 식에는 부채꼴의 반지름과 호의 길이가 포함되어있다. 이것을 원뿔..

종단속도란? 높은 곳에서 물건을 떨어뜨리면 중력에 의하여 점점 낙하 속도가 증가한다. 그리고 속도가 증가한 만큼 더 강한 충격을 가하게 된다. 어느 정도냐면 고층 아파트에서 작은 물풍선을 자동차에 던지면 앞 유리가 박살이 날 정도다. 참고로 경험담은 아니다. 아무튼 그래서 높은 곳에서 물건을 던지는 것은 정말 매우 매우 위험한 행위다. 이론상으로는 힘이 작용하면 가속도 운동을 하기 때문에 끝도 없이 속도가 커져야 하지만 현실에서는 속도가 끝도 없이 커지지 않는다. 중력이라는 힘이 작용하고 있는데 왜???? 물건이 떨어지는데 속도가 끝도 없이 커지지 않는 것은 정말 쉽게 예를 접할 수 있다. 다름 아닌 비다. 하늘에서 떨어지는 비는 만약 속도가 끝도 없이 증가한다면 폭우가 쏟아지는 그날은 육지가 초토화가 ..

위치 관계의 종류 두 직선이 있다면 이 둘의 위치 관계는 4가지로 구분 된다. 평행한 경우, 일치하는 경우, 수직인 경우, 만나는 경우 뭐 어떻게 그어도 이 4가지를 벗어나지 않는다. 좌표평면상에서 보면 아래와 같다. 이 4가지의 위치 관계를 말로서 표현하면 아래와 같은 의미를 가진다. 두 직선의 평행 조건 두 직선의 기울기가 같고 y절편이 다르다. 두 직선의 일치 조건 두 직선의 기울기와 y절편이 같다. 두 직선의 수직 조건 두 직선의 기울기의 곱은 = -1 이다. 두 직선이 만날 조건 기울기가 다르다. 두 직선이 수직이 될 조건이 왜 기울기의 곱 = -1인지 모르겠다면 아래글을 참고하자. ※두 직선이 수직일 조건과 증명하기 ← 클릭 두 직선이 수직일 조건과 증명하기 두 직선이 수직일 조건 임의의 두 ..

개요 모든 각뿔의 부피는 각기둥의 부피의 3분의 1을 곱하면 된다는 것을 어린 시절부터 배워왔을 것이다. 이 공식은 초중학교 시절에 배우는 것으로 기억하고 있는데 왜 이렇게 계산하면 되는지에 대한 것은 배우지 않았을 것이다. 해당 내용을 증명하려면 고등학교 수학과정의 지식이 필요하기 때문이다. 그럼 지금부터 한번 알아보자. 증명하는 방법 : 구분구적법 해당 내용은 구분구적법을 통하여 설명할 수 있다. 구분구적법이란 도형의 넓이나 부피를 구할 대 주어진 도형을 작은 기본 도형으로 세분하여 세분된 기본 도형의 넓이나 부피의 합을 근삿값으로 구하고 이 값을 극한값으로 넓이나 부피를 구하는 방법이다. 그렇다면 이제 구분구적법을 통하여 뿔의 부피는 기둥의 부피의 3분의1임을 보여보겠다. 해당 내용은 사전 지식을 ..

구의 정의 구의 정의를 살펴보기 전에 원의 정의부터 잠깐 언급해보자. 원이란 한 정점으로부터 일정한 거리에 있는 점의 자취를 말한다. 이때 한 정점이 원의 중심이 되고 일정한 거리에 있는 점과 원의 중심을 잇는 선분은 반지름이 되는 것이다. 그리고 원은 x, y축으로 이루어진 2차원 도형이다. 원에 대한 내용은 아래를 참고하자 원의 방정식에 대하여 알아보자. 그렇다면 구는 무엇일까? 구는 원의 정의의 개념을 3차원으로 옮긴 것이다. 원은 x, y축으로 이루어진 2차원 도형이라면 구는 x, y, z로 이루어진 3차원 입체도형이다. 정리하면 구는 공간에서 한 정점으로부터 일정한 거리에 있는 점 자취를 말한다. 그리고 이 일정한 거리는 구의 반지름의 길이가 된다. 자취라는 의미를 잘 모르겠다면 아래를 참고하자..

부채꼴의 호의 길이 공식 아래와 같은 부채꼴이 있을 때, 호의 길이는 다음과 같은 식으로 나타낼 수 있다. 부채꼴의 넓이는 다음과 같이 나타낼 수 있다. 증명하기 어쩌면 공식보다도 중요한 것이 호의 길이 공식, 부채꼴의 넓이 유도 과정이라고 생각된다. 유도 과정에서 쓰이는 내용이 꽤 복잡한 문제에서 의외로 활약하기 때문이다. 증명의 핵심은 호의 길이는 중심각의 크기에 비례하다는 것, 그리고 부채꼴의 넓이 또한 중심각의 크기에 비례한다는 것이다. 아니 이게 다라고 보면 된다. 아니 이게 다다. 우선 원주와 원은 넓이를 구하는 공식부터 알아야 한다. 원주와 원의 넓이를 구하는 방법은 아래 글을 참고하지. →원의 둘레(원주)와 원의 넓이 구하기 내용을 익혔다면 각도가 2π일때의 경우 비례식을 세우자. 각도가 ..

외접원의 반지름의 길이를 알 때 삼각형의 넓이 다음 그림을 보자. 이 경우에 삼각형의 넓이는 아래와 같이 쓸 수 있다. 증명하기 이 공식을 증명하기 위해서는 2가지의 사전 지식이 필요하다. 1. 두 변과 그 끼인각을 알 때 삼각형의 넓이 공식 및 증명하기 2. 사인 법칙에 대하여 알아보고 증명하자 이 2가지를 알고 있다면 증명할 수 있다. 우선 두 변과 그 끼인각을 알 때의 넓이 공식부터 시작한다.