제이의 집

두 직선이 수직일 조건 임의의 두 직선이 수직이 된다면 다음과 같은 식이 성립된다. 이 조건은 상당히 많은 문제에서 응용이 되는 내용이니 잘 알고 있어야 한다. 증명하기 많은 공식이 기하학적으로 접근하면 쉽게 증명할 수 있는 경우가 많다. 이 내용도 그러하다. 아래의 그림을 보자. 위 그림과 같이 원점을 지나고 서로 수직인 두 직선을 긋고 직선 x=1을 그으면 교점 P, Q가 만들어지고 위에 표시된 좌표를 가지게 된다. 그리고 삼각형 △POQ가 만들어지고 ∠POQ = 90° 이므로 피타고라스의 정리를 활용할 수 있다. 정리해보자. 이 내용은 증명과정 보단 결과가 이용되는 경우가 참 많으니 그냥 이렇게 증명할 수 있구나 정도로만 기억하고 넘어가자. ※같이 보기 피타고라스의 정리 증명하기

개요 직선의 방정식은 일차함수로 이루어진 식이다. 간단한 함수이지만 이 직선의 방정식을 구하는 데는 여러 가지 공식이 있다. 문제에서 주어지는 조건에 따라 적용되는 직선의 방정식의 공식은 각각 다르다. 지금부터 어떠한 조건이 주어졌을때, 어떠한 공식을 적용시키면 되는지, 그리고 그 공식은 어떻게 나오게 된 것인지 증명을 해보도록 하겠다. 기울기가 m이고 한 점 A(x₁, y₁)을 지나는 직선의 방정식 이 경우에는 아래오 같은 공식으로 직선의 방정식을 구할 수 있다. 증명하는 방법은 아주 간단하다. 일반적인 직선의 방정식은 y=mx+n으로 표현할 수 있다. 이 식에다가 (x₁, y₁)를 집어넣어서 이쁘게 식을 정리해주면 증명은 끝난다. 우선 n을 고쳐서 정리해보자. 고쳐서 정리된 n을 다시 y=mx+n에 ..

내접원의 반지름의 길이를 알 때 삼각형의 넓이 삼각형에 내접하는 원의 반지름을 알 경우 간단한 방법으로 삼각형의 넓이를 구할 수 있다. 위와 같이 내접원의 반지름의 길이가 r이고 각 변의 길이가 a, b, c인 삼각형이 주어졌을 때 삼각형의 넓이는 아래와 같이 나타낼 수 있다. 공식 유도하기 조금만 생각해보면 이 공식은 그리 어렵게 유도되는 공식이 아니라는 것을 알 수 있다. 위 그림와 같이 △ABC의 내접원의 중심을 I, 반지름의 길이를 r이라고 하면 △ABC의 넓이는 각 밑변이 a, b, c이고 높이가 r인 삼각형 3개의 넓이의 합이라고 말할 수 있다. 이것을 풀어쓰면 공식이 완성된다. 가끔 고난이도 문제에서 조커 같은 역할을 하는 공식이기도 하다. 실전에서 중요한 것을 공식 자체를 기억해내는 것보다..

몰랄농도란? 용매 1kg 당 들어있는 용질의 몰수를 나타낸 것을 몰랄농도라고 한다. 기호는 m이라고 쓰고 단위는 ㏖/kg 이 된다. 질량부분 단위에 신경을 써야 한다. 어떠한 단위에서 계산을 하든 결과값은 반드시 ㏖/kg로 변환을 해야 몰랄농도를 나타내는 문자 m으로 표현할 수 있다. 식으로 표현하면.... 몰농도와 글자가 비슷해서 헷갈리는 사람들이 있는데 절대 몰농도와 헷갈리면 안 된다. 몰농도 vs 몰랄농도. 간략하게 비교해보자. 몰농도 몰랄농도 정의 용액 1L 당 들어있는 용질의 몰수를 나타낸 것 용매 1kg 당 들어있는 용질의 몰수를 나타낸 것 단위 mol/L mol/kg 표기 M m 몰랄농도 계산하기 예시를 들어보자. 물 500g 안에 소금이 0.6㏖이 녹아있다면 몰랄농도는 얼마일까? 아래와 같..

몰농도란? 용액 1L 당 들어있는 용질의 몰수를 나타낸 것을 몰농도라고 한다. 기호는 M이라고 쓰고 단위는 ㏖/L 이 된다. 식으로 표현하면 아래와 같이 나타낼 수 있다. 뭐든 다 그렇지만 몰농도를 계산할 때는 단위에 주의해야 한다. 어떠한 단위에서 계산을 하든 결과값은 반드시 ㏖/L로 변환을 해야 몰농도를 나타내는 문자 M으로 표현할 수 있다. 용액의 몰농도 계산하기 무언가를 이해하려면 글만 읽지 말고 문제를 풀던 뭘 하던 일단 부딪혀보는 게 제일 빠르다고 생각된다. 만만한 예로 소금(NaCl)이 녹아있는 소금물을 예로 들어보자. 소금물 400ml안에 소금이 0.6㏖이 녹아있다면 몰농도는 얼마일까? 아래와 같이 계산하면 된다. 결과값은 반드시 ㏖/L로 변환을 해야 몰농도를 나타내는 문자 M으로 표현할 ..

용매, 용질, 용해, 용액이란? 단어를 헷갈려하는 사람들이 많은데 하나씩 정의를 내리면 실로 간단하다. 알아보자. 용매 : 용액에서 녹이는 물질을 용매라고 한다. 용질 : 용액에서 녹는 물질을 용질이라고 한다. 용해 : 한 물질이 다른 물질에 녹아 섞이는 현상을 말한다. 즉 용질이 용매에 녹아 섞이는 현상이라고 생각하면 된다. 용액 : 용해의 결과물이다. 즉 용질이 용매에 녹아 섞여 만들어진 상태의 물질을 말한다. 예시 위와 같은 소금물을 예시로 들어보자. 용매 : 물 용질 : 소금 용해 : 소금이 물에 녺아 섞인 현상 용액 : 용해의 결과물. 즉 소금물! 실로 간단한 내용이지만 하나 알아둬야 될 것은 반드시 물질이 녹아들어야 용액이라고 말할 수 있다. 섞였는데도 녹아들어 가지 않는다면 그것은 용액이 아..

원자 번호 원소의 원자 번호는 각 원자의 핵에 있는 양성자 수와 같다. 예를 들면 모든 탄소 원자는 6개의 양성자를 가지고 있으며 원자 번호 6번이고, 모든 산소 원자는 8개의 양성자가 있으며 원자 번호 8번이다. 질량수 한 원자핵에 있는 양성자와 중성자의 수의 합을 질량수라고 한다. 예를 들면 양성자가 6개이고 중성자가 6개인 탄소 원자의 질량은 12다. 표기법 원자 번호는 원자/원소 기호 기준으로 왼쪽 아래첨자로 쓰고, 질량수는 왼쪽 위첨자로 쓴다. 다시 6개의 양성자와 6개의 중성자를 가지고 있는 탄소를 예로 들어보자. 직접 예시를 보는 게 가장 빠르게 이해된다. 그림으로 이해하기 아래와 같은 헬륨 원자가 있다고 치자. 헬륨이니까 원자 번호 2번, 양성자 2개에 그림에서 보듯이 중성자가 하나가 있다..

직육면체란? 직육면체란 단어 그대로 직사각형 6개로 둘러싸인 입체 도형을 말한다. 마주 보는 세 쌍의 면의 크기가 각각 같고 평행하다는 특징을 가지고 있다. 실생활에서 가장 흔하게 볼 수 있는 입체도형이 아닐까 싶다. 직육면체의 겉넓이 직육면체의 면은 총 6개이고 마주보는 세 쌍의 면의 크기가 각각 같다. 정리하면 직육면체 겉넓이 식은 다음과 같이 쓸 수 있다. 직육면체의 부피 부피는 밑면의 넓이 X 높이다. 위 그림에서 밑면의 넓이는 ab, 높이는 c 이므로 식으로 쓰면

원자의 구조 원자는 전기적으로 중성이고 구 모양인 양전하를 띄는 중심핵(원자핵)과 한 개 이상의 음전하를 띤 전자로 둘러싸여 있으며, 핵의 인력에 의해 붙들린 전자들은 원자의 부피 안에서 빠르게 움직인다. 참고로 핵은 밀도가 엄청나게 높다. 따라서 핵은 원자 질량의 99.97%를 차지하면서 부피는 10조분의 1만큼을 차지한다. 그야말로 어마어마한 밀도다. 그림으로 표현하면 원자의 구조는 아래와 같이 볼 수 있다. 위의 그림은 He 원자(헬륨 원자)다. 원자핵의 구조 수소 원자 핵를 제외한 모든 원자핵은 양성자와 중성자로 구성되어 있다. 참고로 수성 원자 핵은 단 한 개의 양성자로 되어 있다. 양성자는 이름을 보면 알 수 있듯이 양전하를 가지고 있고, 중성자도 이름을 보면 알 수 있듯이 전하를 띠지 않는다..

평면 위의 두 점 사이의 거리 공식 좌표평면 위의 두 점 A(x₁, y₁), B(x₂, y₂) 사이의 거리 선분 AB는 아래와 같이 표현할 수 있다. 사실 이건 구구단 수준의 공식이다. 다만 이게 왜 이렇게 되는지 모르는 사람들이 꽤 있다. 이 공식을 유도해보겠다. 증명 및 유도 이 공식은 좌표평면 위의 두 점 사이의 거리를 나타내는 것이다. 따라서 지극히 당연하게도 좌표평면 상에서 공식을 유도를 할 수 있다. 위의 그림에서 두 점 A(x₁, y₁), B(x₂, y₂) 사이의 거리 선분 AB는 직각삼각형 ABC의 빗변의 길이와 같다. 따라서, 피타고라스의 정리를 이용하면 된다. 이용해보자. 따라서 두 점 사이의 거리는 그리 어려운 내용은 아니니 잘 숙지해두도록 하자. 같이 보기 피타고라스의 정리 증명하기