두 점을 지름의 양끝으로 하는 원의 방정식 구하기

두 점을 지름의 양끝으로 하는 원의 방정식

임의의 점이 2개가 주어진다면 이 두 점을 지름의 양끝으로 하는 원의 방정식을 구할 수 있다. 방법은 2가지가 있다. 하나는 원의 특징을 이용하는 것이고 다른 하나는 공식을 사용하는 것이다. 이 2가지의 방법에 대하여 알아보도록 하겠다.

 

반응형

 

원의 특징을 이용하여 두 점을 지름의 양끝으로 하는 원의 방정식 구하기

두 점 A(x₁, y₁), B(x₂ ,y₂)가 있고 이 두 개의 점을 지름의 양 끝으로 한다면 아래와 같은 사실을 말할 수 있다.

 

위 사실만으로 원의 방정식을 구하는 것은 아주 간단하다. 만약 저 사실을 보고도 원의 방정식을 구할 수 없다면 원의 방정식이라는 것 자체에 대한 개념을 잘 모른다는 것이다. 잘 모른다면 아래의 글을 참고하도록 하자.

원의 방정식에 대하여 알아보자.

원의 방정식에 대하여 알아보자.

 

 

 

 

공식 사용하기

두 점 A(x₁, y₁), B(x₂ ,y₂)을 지름의 양끝으로 하는 원의 방정식을 구하는 공식은 아래와 같다.

 

 

공식은 외우기 어렵지 않다. 그렇다면 어떻게 저런 공식이 나오는 것일까? 공식을 유도해보자.

 

 

 

▲원 위의 임의의 한 점을 P(x, y)라 하면 선분AB는 지름이다. 따라서 원주각의 성질을 이용하면 아래와 같이 말할 수 있다.

 

 

 

 

▲두 직선이 수직을 이룰 경우 기울기를 곱하면 -1이 된다는 성질에서 공식을 유도할 수 있다. 왜 수직인 두 직선의 기울기를 곱하면 -1이 되는 것일까? 이 사실을 알고 싶다면 아래의 글을 읽도록 하자.

두 직선이 수직일 조건과 증명하기

두 직선이 수직일 조건과 증명하기

 

 

 

 

그럼 이제 두 직선의 기울기를 구해서 곱이 -1이 되는 식을 세우고 정리를 하면 원의 방정식이 완성된다.

 

▲공식이라고는 하지만 내용을 보면 우리가 문제를 풀면서 자주 활용하는 개념의 응용이라고 보면 된다. 공식들의 증명과정을 다 외우지는 않더라도 읽어보는 것이 수학적인 사고력을 키우는데 도움이 될 것이라고 생각한다.

 

 

※ 함께 읽기 원과 직선의 위치 관계 및 판별하기 원의 판별식에 대하여 알아보자. 내접원의 반지름 길이를 알 때 삼각형의 넓이 구하기 두 원의 중심거리에 따른 두 원의 위치 관계 공통외접선과 공통내접선의 길이 공식 및 증명하기