구의 방정식에 대하여 알아보자

구의 정의

구의 정의를 살펴보기 전에 원의 정의부터 잠깐 언급해보자.
원이란 한 정점으로부터 일정한 거리에 있는 점의 자취를 말한다. 이때 한 정점이 원의 중심이 되고 일정한 거리에 있는 점과 원의 중심을 잇는 선분은 반지름이 되는 것이다. 그리고 원은 x, y축으로 이루어진 2차원 도형이다.
원에 대한 내용은 아래를 참고하자
원의 방정식에 대하여 알아보자.

그렇다면 구는 무엇일까?

구는 원의 정의의 개념을 3차원으로 옮긴 것이다. 원은 x, y축으로 이루어진 2차원 도형이라면 구는 x, y, z로 이루어진 3차원 입체도형이다.
정리하면 구는 공간에서 한 정점으로부터 일정한 거리에 있는 점 자취를 말한다. 그리고 이 일정한 거리는 구의 반지름의 길이가 된다.
자취라는 의미를 잘 모르겠다면 아래를 참고하자.
자취의 방정식에 대하여 알아보자.

표준형 구의 방정식

정의에 의하여 중심이 (a, b, c)이고 반지름의 길이가 r인 구의 방정식은 다음과 같이 말할 수 있다.

만약 a=0, b=0, c=0 즉 원점이 중심인 경우는 그대로 대입하면 된다.

유도하는 방법은 원과 다른게 전혀 없다. 점 C(a, b, c)을 중심으로 같은 거리(r)에 있는 점의 자취니까 C(a, b, c)와 P(x, y, z)의 거리가 r이 나오는 식을 세우면 된다.

일반형 구의 방정식

앞서 언급했지만 구는 x, y, z축으로 이루어진 3차원 도형이다. 그래서 2차원인 원의 방정식에서 z항 관련 내용이 추가된 형태다. 결론부터 먼저 말하자면 일반형 구의 방정식은 다음과 같다.

이 식을 완전 제곱식으로 고쳐서 정리하면 구의 중심 미 반지름의 길이를 구할 수 있다. 해보자.

결국 구의 방정식 표준형과 일반형 차이는 식을 풀어썼느냐 안 풀어썼느냐의 차이다. 문제를 풀 때 어떠한 형태의 식이 더 필요할지 생각해보고 식을 고쳐 쓰면 된다.