자취의 방정식에 대하여 알아보자.

자취의 방정식이란?

점의 자취란 일정한 조건에서 점이 움직일 때, 그 점의 집합 전체가 이루는 도형을 말한다. 그렇다면 자취의 방정식은 이 점의 자취를 표현한 방정식이라고 말할 수 있겠다.

 

 

 

x의 좌표가 1인 점들의 자취

위 좌표평면에 그어진 선의 방정식은 x=1이다. 이 선은 x의 좌표가 1인 선들의 집합이라고 말할 수 있다. 다시 말하면 이 선을 나타내는 방정식 x=1은 x의 좌표가 1인 점들의 자취라고 말할 수 있는 것이다.

 

 

자취의 방정식을 구하는 방법

자취의 방정식은 특정한 조건을 만족하는 점의 자취를 구하는 식이다.

대부분의 자취의 방정식을 구하는 방법은 다음 과정에 따른다.

 

어떤 조건을 만족하는 점의 자취를 구한다면.....

 

① 조건을 만족하는 점의 좌표를 P(x, y)로 둔다.

 

② 주어진 조건을 이용하여 x와 y의 관계식을 세운다. 가장 중요한 과정이다. 주어진 조건이 어떤건지에 따라 관계식을 세우는 방법은 다소 차이가 있기 때문에.... 주어진 조건을 보고 여기서 뭘 알 수 있는지 잘 생각해야 한다. 

 

③ x, y외의 문자가 있다면 그 문자를 소거하자.

 

 

자취의 방정식의 예시

우리가 접할 수 있는 모든 직선, 도형 등이 어떠한 조건을 만족하는 자취의 방정식이라고 말할 수 있다. 그렇기 때문에 자취의 방정식의 예시를 들자면 정말 셀 수도 없는 수많은 도형, 직선, 곡선 등등이 예시가 된다. 그중에서도 대표적인 자취의 방정식 예시가 될 수 있는 것들에 대해 알아보겠다.

 

① 원의 방정식

가장 대표적인 자취의 방정식의 예시라고 할 수 있다. 원의 정의는 평면에서 한 정점으로부터 일정한 거리에 있는 점의 자취를 말한다. 이 때, 정점은 원의 중심, 그 정점에서의 일정한 거리는 반지름의 길이가 된다.

정리하면 점(a, b)를 중심으로 같은 거리(r)에 있는 점의 자취다.

 

이것을 자취의 방정식을 구하는 과정으로 살펴보자.

 

① 조건을 만족하는 점의 좌표를 P(x, y)로 둔다.

 

② 주어진 조건을 이용하여 x와 y의 관계식을 세운다. 

주어진 조건을 보면 관계식을 어떻게 세워야 하는지 감이 온다. 점(a, b)을 중심으로 같은 거리(r)에 있는 점의 자취니까 점(a, b)과 점(x, y)의 거리가 r이 나오는 식을 세우면 된다. 점과 점 사이의 거리를 구하는 공식을 사용하면 쉽게 x와 y의 관계식을 세울 수 있다.

 

이렇게 하면 중심이 (a, b)이고 반지름의 길이가 r인 원의 방정식이 만들어진다.

 

③ x, y외의 문자가 있다면 그 문자를 소거하자.

해당 예시는 자취를 이루는 점에서는 x, y 외의 문자는 없기 때문에 따로 소거하는 과정 없이 ②에서 마무리가 된다.

(a, b)는 점의 자취를 나타내는 점이 아니니 착각하지 말자.

 

 

두 점으로 부터 같은 거리에 있는 점의 자취의 방정식

두 점 A(1,2), B(-2,4)로 부터 같은 거리에 있는 점의 자취의 방정식을 구한다면....

임의의 점 P(x, y)를 두고 각 두 점과의 거리가 같다는 조건이 있기 때문에 이 것을 이용하여 관계식을 세우면 된다.

 

점과 직선 위의 점을 연결한 선분의 중점의 자취의 방정식

직선 3x-4y=5 위의 점과 점 A(2, 4)을 연결한 선분의 중점의 자취의 방정식을 구하면....

직선 3x-4y=5 위의 점을 B(a, b)로 두면......

예시를 익혀두는 것도 좋지만 자취의 방정식을 구하는 과정을 잘 깨우쳐야 한다.