점과 직선사이의 거리 공식 및 증명하기

점과 직선 사이의 거리 공식

점 P(x₁, y₁)에서 직선 ax+by+c=0까지의 거리를 d라고 둔다면 d는 다음과 같은 공식으로 구할 수 있다.

거의 뭐 구구단처럼 많이 쓰이는 공식이니 꼭 알아둬야한다. 참고로 이 공식은 a=0 또는 b=0일 때도 성립하는 공식이다. 즉 직선 l이 x축 또는 y축에 평행일 때도 성립하는 공식이다.

그러면 이제 왜 이런 공식이 나오는 건지 알아보자.

 

 

증명하기

뭐 직선, 도형 등 기하와 관련된 공식들중 상당수는 좌표평면상에서 증명할 수 있다. 점과 직선 사이의 거리 공식도 마찬가지다. 아래의 그림을 보자.

 

 

 

한 점 P에서 직선 l에 그은 수선의 발을 H라고 할 때, 점 P와 직선 l사이의 거리는 선분 PH의 길이라고 말할 수 있다.

그리고 다음과 같이 표현할 수 있다.

 

두 직선이 수직일 조건을 모르겠다면 아래를 참고하자

두 직선이 수직일 조건과 증명하기

 

여기서 이제 선분PH의 길이를 구하자.

 

 

그리고 점 H(x₂, y₂)는 직선 l위의 점이므로

 

 

 

마지막으로 이 k를 앞서 구한 선분 PH에 대입하면 끝난다.

 

그리 어려운 내용은 아니지만 이래저래 증명하려니까 귀찮은 계산들이 있으니 이렇게 증명할 수 있구나! 정도만 기억하자.