직선의 방정식 공식 및 증명하기

개요

직선의 방정식은 일차함수로 이루어진 식이다. 간단한 함수이지만 이 직선의 방정식을 구하는 데는 여러 가지 공식이 있다. 문제에서 주어지는 조건에 따라 적용되는 직선의 방정식의 공식은 각각 다르다. 지금부터 어떠한 조건이 주어졌을때, 어떠한 공식을 적용시키면 되는지, 그리고 그 공식은 어떻게 나오게 된 것인지 증명을 해보도록 하겠다.

 

 

기울기가 m이고 한 점 A(x₁, y₁)을 지나는 직선의 방정식

이 경우에는 아래오 같은 공식으로 직선의 방정식을 구할 수 있다.

기울기가 m이고 한 점 A(x₁, y₁)을 지나는 직선의 방정식

 

증명하는 방법은 아주 간단하다. 일반적인 직선의 방정식은 y=mx+n으로 표현할 수 있다. 이 식에다가 (x₁, y₁)를 집어넣어서 이쁘게 식을 정리해주면 증명은 끝난다.

 

우선 n을 고쳐서 정리해보자.

 

 

고쳐서 정리된 n을 다시 y=mx+n에 집어넣어 주면 증명은 끝난다.

 

모든 공식 증명이 그런건 아니지만 단순히 식에 집어넣어서 증명되는 공식들이 아주 많다. 

 

 

두 점 (x₁ , y₁), (x₂ , y₂)를 지나는 직선의 방정식

x₁ ≠ x₂ 일 경우

이 경우의 직선의 방정식은 다음과 같다.

 

 

이 역시 증명은 그리 어렵지 않다. 그림을 보자.

 

이 그림에서 기울기 m을 구할 수 있다. 그리고 점 A를 지나니까 기울기가 m이고 한 점 A(x₁, y₁)을 지나는 직선의 방정식 공식을 적용시키면 끝난다.

 

 

 

x₁ = x₂ 일 경우

이 경우 직선은 x축에 수직이라는 소리다. 따라서 직선 위 모든 점 y에 대해서 x좌표는 항상 x₁ 이 된다. 증명이라고 특별히 말할 것도 없다.

 

x절편이 a이고 y절편이 b인 직선의 방정식 (ab ≠ 0 )

 

이 직선의 방정식은 다음과 같이 표현할 수 있다.

 

 

이 역시 증명방법이 아주 간단하다.

x절편이 a이고 y절편이 b라는 것은 두 점 (a , 0), (0 , b)를 지나는 직선의 방정식이다. 따라서 앞서 언급한 두 점을 지나는 직선의 방정식 공식을 적용시키면 된다.

 

 

이것을 양변을 b로 나누어 정리하면