사각형의 넓이 공식 및 유도

개요

이번 글은 정사각형, 마름모, 직사각형, 사다리꼴 등 정형화된 모양의 사각형이 아닌 이상하게 생긴? 그냥 일반적인 사각형의 넓이를 구하는 법을 알아보도록 하겠다.

 

공식

다음과 같은 특징없는 사각형이 주어질 경우

사각형 내 두 대각선과 그 대각선이 이루는 각을 이용하여 다음과 같은 식으로 넓이를 구할수 있다.

 

유도 및 증명

사각형의 넓이 공식을 유도하기 위해서는 2가지의 사전 지식이 필요하다.

1. 두 변과 그 끼인각을 알 때의 삼각형의 넓이 공식

참조 : 2021.10.13 - [수학이야기/공식 모음] - 삼각형의 넓이 공식 및 증명하기 

삼각형의 넓이 공식 및 증명하기

2. 삼각함수의 보각공식

사용되는 식 : sin(π-θ)=sin(θ)

 

아래 그림과 같이 사각형ABCD를 네 개의 삼각형으로 나누어 a=p₁+p₂, b=q₁+q₂로 두면

사각형의 넓이는 S=△OAB + △OBC + △OCD + △ODA 이다. 두 변과 그 끼인각을 알 때의 삼각형의 넓이 공식을 사용하여 표현하면

여기서 삼각함수의 보각공식을 사용하여 sin(π-θ)=sin(θ)로 고쳐주고 정리하자.

모든 공식이 다 그렇지만 특히 기하와 관련된 공식 같은 경우에는 무작정 외운다기 보다는 이해가 동반이 되어야한다.

잘 숙지하자.