정삼각형의 넓이 공식 및 유도

개요

한 변의 길이를 알고 있다면 정삼각형의 높이와 넓이를 구할 수 있으며 공식화를 할 수 있다. 어떻게 구하는지 알아보자.

 

공식

그림과 같이 정삼각형의 한 변의 길이가 a인 경우 높이와 넓이 공식을 아래와 같이 표현할 수 있다.

이 공식은 어떻게 나오는 것인지를 알아보자.

 

유도 및 증명

정삼각형은 세 변의 길이가 같고 세 각의 크기가 각각 60도이기 때문에 삼각함수의 특수각을 알면 쉽게 유도할 수 있다.

우선 위의 삼각형에서 수직으로 선을 그어보자.

수직으로 선을 그으면 밑변의 길이가 a/2인 삼각형이 만들어진다. 여기서 h는 아래와 같이 표현할 수 있다.

tan60 = 1/2 로 쉽게 알 수 있는 특수값이다.

높이를 알아냈으니 넓이를 구해보자. 일반적으로 삼각형의 넓이는 높이 x 밑면 x 1/2이다. 이것을 적용하면

따라서 정삼각형의 한 변의 길이만 안다면 높이 및 넓이를 쉽게 구할 수 있다.

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