정사면체의 겉넓이, 높이, 부피 공식 및 유도

정사면체란?

정사면체는 각 면이 모두 합동인 정삼각형으로 이루어진 다면체를 말한다. 사면체이니 면의 개수는 당연히 4개가 된다.

그리고 한 각 모서리에서 만나는 면들끼리 이루는 각의 크기도 모두 같다.

아무튼 이번 글에서는 한 변의 길이가 a인 정사면체의 겉넓이, 높이, 부피를 구하는 공식에 대하여 알아보기로 하자.

 

 

정사면체의 겉넓이

한 변의 길이가 a인 정사면체가 있다.

 

 

 

이 정사면체의 겉넓이는 한 변의 길이가 a인 정삼각형 4개의 합이라고 말할 수 있다.

이것을 식으로 써본다면

 

 

왜 한 변의 길이가 a인 정삼각형의 넓이가 저렇게 나오는지 모르겠다면 아래 글을 참조하자.

정삼각형의 넓이 공식 및 유도

정삼각형의 넓이 공식 및 유도

 

 

정사면체의 높이

정사면체 제일 위 꼭지점에서 수선의 발을 그어주자.

수선의 발을 그으면 직각삼각형 △ABH가 만들어진다. 그렇다면 선분BH의 길이만 알면 피타고라스 정리를 사용하여 높이를 구할 수 있다. 그럼 선분BH는 어떻게 구할까? 점 H는 △BCD의 무게중심이 된다는 사실을 이용하면 된다.

 

 

선분BH의 길이를 구했으니 직각삼각형 △ABH에서 피타고라스의 정리를 적용시켜

최종적으로 정사면체의 높이(선분AH)를 구해주면 된다.

 

 

정사면체의 부피

위에서 부피를 계산하기 위해 필요한 높이 등을 구했으니 이제 계산만 해주면 된다.

정사면체의 부피 공식은 밑면 X 높이 X 1/3이니 위에서 구한 값들을 적용시키면 된다.