다각형 대각선 개수 공식 및 유도하기

n각형 대각선 수 공식

다각형의 대각선 개수 즉, n각형의 대각선 개수를 구하는 공식은 다음과 같다.

유도

단계적으로 생각하면 공식을 유도해내는 것은 그리 어렵지 않다. 사각형, 오각형, 육각형을 예로 들어보자.

첫 째

모든 도형에서 한 꼭지점에서 대각선을 그을 때 자기 자신 및 양 옆 꼭지점에는 선을 그을 수 없다.

정리하면 n각형의 한 꼭지점 에서 그을 수 있는 대각선의 개수는 n - 1(자기자신) - 2(양 옆) = n - 3이 된다.

정리하면

사각형의 한 꼭지점에서 그을 수 있는 대각선의 개수 : 4 - 3 = 1

오각형의 한 꼭지점에서 그을 수 있는 대각선의 개수 : 5 - 3 = 2

육각형의 한 꼭지점에서 그을 수 있는 대각선의 개수 : 6 - 3 = 3

 

둘째

n각형에서 한 꼭지점당 n - 3개의 선을 그을 수 있다. 하지면 예를 들어 꼭지점A에서 C로 이어지는 대각선은 반대로 C에서도 A로 그을 수 있다. 즉 다시 말하면 모든 선이 한 번씩 중복이 된다는 것이다.

정리하면 n각형에서 한 꼭지점당 n - 3개의 선을 그을 수 있지만 모든 선이 한번씩 중복된다. 이것을 식으로 정리하면

이러한 공식이 완성되는 것이다.

 

다시 정리하면

 

사각형의 대각선의 개수 : 4(4 - 3)/2 = 2

오각형의 대각선의 개수 : 5(5 - 3)/2 = 5

육각형의 대각선의 개수 : 6(6 - 3)/2 = 9