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순환소수와 순환소수 공식에 대하여 알아보자 순환소수란? 순환소수는 무한소수 중 하나로 소수점 아래의 어떤 부분이 반복되는 소수를 말한다. 순환소수의 특징은 아래와 같다. ① 순환소수에서 반복되는 부분을 순환마디라고 한다. ② 순환소수는 반드시 기약분수로 고칠 수 있다. ③ 소수점 아래 첫째 자리부터 순환마디가 시작될 때 순순환소수, 첫째 자리가 아닌 다른 자리부터 순환마디가 시작되는 것을 혼순환소수라고 한다.▼ 순환소수를 기약분수로 고치는 방법은 무한등비급수를 이용하는 방법과 공식에 의한 방법 총 2가지가 있다. 하나하나 알아보도록 하자. 무한등비급수로 순환소수 → 기약분수 순순환소수일 경우 가장 간단한 형태의 무한등비급수로 풀이가 가능하다.▼ 혼순환소수의 경우도 크게 다른 건 없다. 다만 제2항부터 무한등비급수가 적용이 되니 첫째항 값만 따로 .. 공감수 0 댓글수 0 2023. 6. 26.
삼각함수 제곱 공식 및 증명하기 삼각함수 제곱 공식 삼각함수에서 삼각함수 제곱 공식은 아마도 가장 많이 쓰이는 공식이 아닐까 싶다. 삼각함수 제곱 공식은 다음과 같다.▼ ▲아마 첫 번째에 적혀 있는 sin²x + cos²x = 1은 아마 수학 공부를 하면서 가장 많이 쓰이는 공식 중 하나일 것이다. 이거 하나만 기억하고 있다면 나머지 공식들도 자연스럽게 유도가 된다. 공식 증명하기 공식을 증명하는 방법은 어렵지 않다. 피타고라스의 정리를 활용하면 손쉽게 증명이 가능하다. 아래와 같은 직각삼각형을 예시로 들어보자. ▼ ▲위에서 확인할 수 있듯이 주어진 직각삼각형에서 sin⁡θ = a/c, cosθ = b/c로 말을 할 수 있다. 직각삼각형이기 때문에 위와 같이 피타고라스의 정리가 성립한다는 사실을 가지고 오자.▼ 피타고라스의 정리를 적용.. 공감수 2 댓글수 0 2023. 3. 18.
삼각함수 반각 공식 및 증명하기 삼각함수 반각 공식 반각 공식은 필자가 공부하던 시절 가장 많이 사용한 공식이 아닐까 싶다. 예전 글에서도 언급을 하였지만 필자가 생각하는 공식의 의의는 복잡한 계산을 간단하게 하는 것에 있다. 그 의의와 어울리는 공식이 바로 삼각함수 반각 공식이 아닐까 싶다. 반각 공식은 아래와 같다. ▼ ▲이 반각 공식이 가지는 가장 큰 의의는 바로 식의 차수를 낮춤으로써 계산식을 간단하게 나타내는 것이다. 이차식이 일차식으로 낮춰지기 때문에 좀 더 편리한 계산이 가능하다. 증명하는 방법 반각 공식은 배각 공식으로 유도할 수 있다. 기존 배각 공식에서 𝜶 대신 𝜶/2를 대입하여 정리하면 3가지의 반각 공식 전부를 유도할 수 있다. 배각 공식으로 유도하는 것이니 당연히 배각 공식이 뭔지를 알아야 한다. 배각 공식이 뭔.. 공감수 1 댓글수 0 2023. 3. 12.
삼각함수 배각 공식 및 증명하기 삼각함수 관련 공식의 특징 삼각함수에는 여러 가지 공식이 있다. 거의 뭐 대부분의 공식이 복잡한 계산을 간단하게 하기 위해 존재하듯, 삼각함수 관련 공식 또한 그러한 목적으로 존재한다. 차이점이 있다면 삼각함수 관련 공식은 눈에 잘 들어오지 않는다는 것이다. 그 이유는 학교에서 삼각함수라는 개념을 접하는 시점이 그리 어린 나이가 아니기 때문에 우리에게 익숙하지 않기 때문이다. 따라서 삼각함수 관련 공식은 무조건 철저하게 외워야 한다. 이번 글에서는 삼각함수 관련 공식 중 하나인 배각의 공식에 대하여 알아보도록 하자. 배각 공식 배각 공식은 sin, cos, tan마다 하나씩 총 3가지가 있다. ▲복잡한 삼각함수 관련 식 가운데서도 배각 공식은 그나마 외우기가 쉬운 공식이다. 정말 구구단처럼 쓰이는 식들이.. 공감수 0 댓글수 0 2023. 3. 11.
삼각함수 3배각의 공식 및 증명하기 삼각함수에는 여러 가지 공식이 있다. 이번 글에서는 그 많은 공식 중 하나인 3배각의 공식에 대하여 알아보도록 하자. 3배각의 공식 3배각의 공식은 3가지가 있다. ▼ 그리 어려운 내용은 아니지만 이 공식을 외우지 않을 경우 문제를 푸는 데 있어서 상당한 시간을 잡아먹거나, 아예 문제를 푸는 것 자체가 어려운 경우가 있다. 그러니 반드시 외우도록 하자. 3배각의 공식 유도하기 3배각의 공식을 유도하기 위해서는 삼각함수의 덧셈 정리에 대한 내용이 선행학습이 되어야 한다. 삼각함수 덧셈정리에 대한 내용은 아래의 글을 참조하도록 하자. 삼각함수의 덧셈정리와 증명하기 삼각함수의 덧셈정리와 증명하기 삼각함수의 덧셈정리란? 삼각함수의 덧셈정리... 상당히 많이 활용되는 공식이다. sin, cos, tan에 대하여 .. 공감수 0 댓글수 0 2023. 3. 3.
분수함수의 역함수 공식 및 증명하기 분수함수의 역함수 분수함수의 역함수를 구하는 방법은 2가지가 있다. 첫 번째는 바로 분수함수의 역함수 공식을 이용하는 방법이다. 공식은 아래와 같다.▼ 보면 알겠지만 b, c의 부호와 위치만 바뀐 형태로 아주 간단하다. 따라서 분수함수의 역함수를 구할 시 공식을 사용하는 것이 당연하게 권장된다. 두 번째는 일반적으로 역함수를 구하는 방법, 즉 함수 식에서 x 대신에 y를 넣고 y 대신에 x를 넣어 정리하는 방법이다. 이 일반적인 방법이 바로 분수함수의 역함수 구하는 공식을 증명하는 방법이다. 증명하기 위에서 언급을 하였듯 y대신에 x를 넣고 x대신에 y를 넣어 역함수를 구하는 방법이 공식을 증명하는 과정이다. 정리하면 아래와 같다.▼ ▲공식과 같은 형태를 구할 수 있다. 숫자가 간단하다면 상관이 없지만 .. 공감수 0 댓글수 0 2023. 2. 16.
산술평균, 기하평균, 조화평균 증명하기 산술평균, 기하평균, 조화평균 산술평균, 기하평균, 조화평균. 이 셋은 유명한 절대부등식으로써 수포자가 아니라면 정말 많이 들어본 단어일 것이고 또 그만큼 많이 쓰이는 내용이다. 절대부등식이니 당연히 부등식 관련 문제에서 많이 나오며, 두 수의 합이나 곱의 최댓값, 최솟값 등을 구하는 경우 많이 쓰인다. 식은 다음과 같다. ▲필자가 한창 수학 공부를 하던 시절에는 조화평균은 거의 접한 적이 없었다. 그렇다고 숙지를 안한건 아니었다. 산술평균과 기하평균은 지겹게 봤을 것이다. 저게 왜 성립을 할 수 있을까? 증명을 해보자. 증명하기 굉장히 많이 나오는 내용이라 뭔가 증명하는 방법도 화려할 것 같은 느낌이 들지만 의외로 간단한 사칙연산을 통하여 손쉽게 증명이 가능하다. ▲위와 같이 식 ①, ②같은 관계를 알.. 공감수 0 댓글수 0 2023. 1. 29.
코시-슈바르츠 부등식 증명하기 코시-슈바르츠의 부등식 사람은 죽어서 이름을 남긴다는 말이 있다. 수학자로 불리는 사람들은 공식을 만들어서 이름을 남긴다. 공식의 이름은 그 수학자의 이름으로 불리기 때문이다. 코시-슈바르츠 부등식도 마찬가지다. 코시와 슈바르츠라는 두 사람이 만든 부등식이다. 코시-슈바르츠의 부등식은 아래와 같다. ▲수학을 공부하는 사람은 절대 모르면 안 되는 부등식 중 하나다. 굉장한 응용력을 가진 부등식이기 때문에 거의 전 분야에서 활용이 가능하다고 생각하면 된다. 증명하기 증명하는 방법은 어렵지 않다. 식을 풀어서 전개하면 금방 이해할 수 있다. ▲증명하는 방법 자체는 단순하지만 계산 과정은 이래저래 어렵지는 않아도 좀 귀찮다. 공식을 반드시 암기하도록 하자. 공감수 0 댓글수 0 2023. 1. 28.
두 구가 내접할 조건에 대하여 알아보자. 두 구의 내접 두 원이 내접한다는 것은 쉽게 말하면 두 원이 겹쳐져 있는 것을 말한다. 구도 마찬가지다 두 구가 내접한다는 것은 두 구가 겹쳐져 있는 것이다. 그림으로 보자. ▲두 구의 반지름을 각각 r, r'로 두고 두 구의 중심 사이의 거리를 d라고 두자. 그림으로 보면 바로 눈치챌 수 있듯이 두 구의 반지름과 두 구의 중심 사이의 거리는 아래와 같은 관계식이 성립한다. 예시 다음과 같은 식을 가진 두개의 구를 보자.▼ ▲여기서 두 구가 내접하게 하는 a 값을 구해보도록 하자. 반지름을 알고 있고 중심사이의 거리도 구할 수 있으니 두 구가 내접하는 조건을 적용하여 계산하여 정리하자. 간단한 무리 방정식이 만들어지니 제곱을 사용하여 풀도록 하자. ▼ 무리방정식에서 주의할 점은 바로 무연근이다. -7, .. 공감수 1 댓글수 0 2022. 10. 3.
삼각형의 무게중심 공식 및 증명하기 삼각형의 무게중심 공식 삼각형의 무게중심의 정의는 간단명료하게 말하자면 삼각형의 세 중선의 교점을 말한다. 무게중심의 핵심적인 성질은 각 중선을 꼭지점으로부터 2 : 1로 내분한다는 것이다. 삼각형의 세 점을 A(x₁, y₁), B(x₂, y₂), C(x₃, y₃)라고 한다면 삼각형 ABC의 무게중심 G의 좌표를 아래와 같이 표현을 할 수 있다. ▲공식은 굉장히 쉽고 간단하다. 암기 난이도는 한 번만 스쳐가듯이 봐도 기억을 할 수 있는 정도다. 이번에는 이 공식이 과연 어떻게 나오는 것인지 증명을 해보도록 하자. 무게중심 증명하는 방법 증명하는 방법은 어렵지는 않으나 이래저래 귀찮은 계산이 좀 있다. 그러니 그냥 이런 거구나 정도로 생각하도록 하자. 삼각형의 세 점을 A(x₁,y₁), B(x₂, y₂),.. 공감수 1 댓글수 0 2022. 9. 10.
기울기를 알 때 원의 접선의 방정식 공식 및 증명하기 원의 접선의 방정식 원의 접선의 방정식을 구하는 방법은 몇 가지 있다. 하나는 판별식 D를 이용하는 것이고 다른 하나는 원의 중심에서 접선까지의 거리가 반지름의 길이와 같다는 원의 성질을 이용하는 것이다. 그리고 마지막 하나는 접선의 방정식 공식을 이용하는 것이다. 기울기가 m인 원의 접선의 방정식의 공식은 아래와 같다. ▲공식은 복잡하지 않고 매우 간단하고 또한 많이 사용되는 것이니 필히 암기하도록 하자. 증명하는 방법도 그리 어렵지 않다. 증명하기 증명의 과정은 생각보다 상당히 단순하다. 간단한 대입과 판별식을 사용하여 쉽게 증명된다. ▲결국 이 증명의 핵심은 바로 판별식D다. 거의 뭐 구구단 수준으로 쓰이는 것이니 잘 기억하도록 하자. ※ 함께 읽기 원의 판별식에 대하여 알아보자. 원의 방정식에 대.. 공감수 3 댓글수 0 2022. 8. 9.
정십이각형 넓이 공식 및 증명하기 정십이각형 정십이각형. 이름을 보면 알 수 있듯 12개 변의 길이가 같은 도형을 말한다. 냉정하게 말하면 공부하면서 보기 힘든 도형 중 하나다. 아마 정십이각형 넓이 공식이라고 따로 배우거나 외운 적은 없을 것이다. 그럼에도 불구하고 정십이각형 넓이 구하는 공식에 대한 글을 쓰는 이유는 이 글을 읽은 사람들이 도형에 관련된 문제를 푸는 경우에 대한 사고력이 향상되기를 바라는 마음이다. 정십이각형 넓이 구하는 공식에 대하여 알아보자. 정십이각형 넓이 공식 유도하기 한 변의 길이가 a인 정십이각형을 예로 들어보도록 하자. ▲보면 막막할 것이다. 이 도형의 넓이를 어떻게 구해야 하는 건지... 도형에 관련된 수학 문제를 풀다 보면 추가적으로 선을 긋는 등의 그림을 그릴 때 쉽게 해결되는 경우가 많다. 정십이각.. 공감수 4 댓글수 0 2022. 7. 13.
로그의 밑변환 공식 및 증명하기 로그의 밑변환 공식이란? 로그의 밑변환 공식은 아마 로그에 관련된 문제를 풀 때 가장 많이 쓰이는 공식이 아닐까 싶다. 거의 뭐 곱셈으로 치면 구구단 같은 것이라고 보면 된다. 로그의 밑변환 공식은 다음과 같다. 증명하기 밑변환 공식은 로그의 정의와 성질을 이해하고 있다면 쉽게 증명이 가능하다. ▲밑변환 공식은 굉장히 중요한 개념이다. 증명과정은 그냥 읽고 넘어가도 되지만 공식 자체는 반드시 암기하도록 하자. ※ 함께 읽기 로그의 성질 및 증명하는 방법 공감수 1 댓글수 0 2022. 6. 26.
세 점이 일직선 위에 있을 조건 두 점을 지나는 직선의 기울기 구하기 두 점을 지나는 직선의 기울기를 구하기 위해서는 한 점을 기준으로 y의 증가량에 x의 증가량을 나누면 구할 수 있다. 이것을 공식처럼 나타내면 아래와 같다. ▲모를리는 없겠지만 이 내용을 잘 기억하도록 하자. 세 점이 일직선 위에 있을 조건 세 점이 일직선 위에 있다는 것은 그림으로 표현하면 아래와 같이 말할 수 있다. ▲위 그림에서는 여러 가지 사실을 알 수 있는데, 중요한 것은 결국 세 점은 같은 직선상에 있으니 그 어떠한 점을 서로 연결해도 기울기는 같다는 것이다. 이 사실을 인지하고 있을 경우 세 점이 일직선 위에 있을 조건은 다음과 같이 말할 수 있다. ▲가장 먼저 언급하였던 두 점을 지나는 직선의 기울기 식을 사용하여 위의 내용에 적용시키면 된다. 세 점이.. 공감수 4 댓글수 0 2022. 5. 28.
정팔각형 넓이 공식 및 유도하는 방법 정팔각형 정팔각형. 여덟 개의 변의 길이가 같은 도형을 말한다. 공부하면서 잘 접할 기회가 없는 도형이기도 하다. 하지만 정팔각형의 넓이 공식, 그리고 이것을 유도하는 과정은 기하에 관련된 문제를 푸는데 활용을 할 기회가 있을 것이다. 이번 글에서는 정팔각형의 넓이 공식 및 유도하는 방법에 대하여 알아보도록 하자. 정팔각형의 넓이 공식 및 유도 한 변의 길이가 a인 정팔각형을 예로 들어보자. ▲막연하게 정팔각형을 본다면 이것의 넓이를 어떻게 구하지?라는 생각이 들 것이다. 아래의 그림과 같이 선을 그어서 정사각형으로 만들어보자. ▲선을 그어서 정사각형을 만들면 이 정사각형의 넓이는 한 변의 길이가 a인 정팔각형의 넓이와 위 그림에서 만들어진 4개의 직각이등변삼각형의 넓이를 합한 값이 될 것이다. 다시 말.. 공감수 3 댓글수 0 2022. 4. 30.
정육각형의 넓이 공식 및 유도하는 방법 공식은 만들 수 있다. 수학에서는 무수히 많은 공식들이 있다. 정확하게 말하면 무수히 많은 공식들을 만들 수 있다. 극단적인 예를 들면 임의의 수 a에 이와 같은 크기의 수를 더한 값(a + a)을 구하는 공식은 2a다. 이것을 보고 정말 어이가 없다 이게 무슨 공식이냐라고 말하는 사람도 있을 것이다. 하지만 이것은 공식이라고 말할 수 있다. 다만 공식화할 필요가 없을 정도로 너무나도 간단하거나 생각하기 쉬운 내용이기 때문이다. 아주 오래전부터 수많은 공식들이 만들어졌고 그중 정말 편리하고 유용하게 쓰이는 것들이 지금까지 내려와 우리의 교과과정에 실리게 되었다고 생각하면 된다. 서론이 좀 길었지만 내가 지금 이 이야기를 한 이유는 정육각형 넓이 공식은 위와 같은 논리와 다르지 않다는 것을 말하는 것이다... 공감수 8 댓글수 0 2022. 4. 13.
삼수선의 정리와 증명하는 방법 삼수선의 정리 공간상에서 직선과 평면의 수직에 대하여 특이한 성질 몇 가지가 있다. ① 점 P에서 평면 α에 내린 수선의 발을 A, A에서 l에 그은 수선의 발을 B라고 하면 아래와 같은 내용이 성립한다. ② 점 P에서 평면 α에 내린 수선의 발을 A, P에서 l에 그은 수선의 발을 B라고 하면 아래와 같은 내용이 성립한다. ③ 점 P에서 l에 그은 수선의 발을 B, 평면 α 위에서 B를 지나 l에 수직인 직선을 긋고 점 P에서 이 직선에 내린 수선의 발을 A라고 한다면 아래와 같은 내용이 성립한다. 위 3가지의 성질을 삼수선의 정리라고 한다. 기하 문제를 푸는데 있어서 반드시 알아야 하는 필수적인 내용이다. 삼수선의 정리 증명하기 위의 3가지의 정리를 순서대로 증명을 하도록 하겠다. 첫 번째. 두 번째.. 공감수 0 댓글수 0 2022. 4. 1.
직육면체 대각선 길이 공식 및 증명하기 직육면체 대각선 길이 공식 이번 글에서는 직육면체 대각선 길이를 구하는 방법에 대하여 알아보자. 결론부터 말하면 아래와 같은 직육면체가 주어진다면 대각선의 길이는 다음과 같다. ▲공식이 아주 간단하기 때문에 암기하기도 쉽다. 왜 이런 공식이 나오는지에 대하여 알아보자. 공식 증명하기 증명하는 방법은 사실 그리 어렵지 않다. 피타고라스의 정리를 사용하여 쉽게 증명이 가능하다. 우선 직육면체의 밑면에 선을 하나 그어주자. ▲밑면에 선을 하나 더 그어준다면 2개의 직각삼각형 △ABC, △BCD가 만들어진다. 선분BC의 길이를 알면 피타고라스의 정리를 사용하여 직육면체 대각선인 선분BD를 구할 수 있다. 그럼 선분 BC를 구하려면??? 역시 이것도 피타고리스의 정리를 사용하여 쉽게 알 수 있다. 자 그러면 차례.. 공감수 2 댓글수 0 2021. 12. 15.
정사각뿔 높이, 겉넓이, 부피 구하는 공식 및 증명 정사각뿔이란? 정사각뿔은 밑면이 정사각형, 옆면이 이등변삼각형으로 이루어진 입체 도형을 말한다. 그림으로 보자면 아래와 같다. ▲수학공부를 하면서 자주 접하는 도형이기도 하다. 이번 글에서는 정사각뿔의 높이, 겉넓이, 부피 구하는 공식과 이에 대하여 증명하는 방법을 알아보도록 하겠다. 정사각뿔의 높이 정사각뿔의 높이 공식은 아래와 같다. 증명하는 방법은 어렵지 않다. 정사각뿔의 밑면에 선 하나를 그어보자. ▲밑면에 선 하나를 그으면 하늘색 삼각형이 하나 만들어진다. 오른쪽처럼 하늘색 삼각형을 따로 놓고 본다면 피타고라스의 정리를 활용하여 높이 h를 구할 수 있다. 그렇다면 저 하늘색 삼각형의 밑변의 길이는 어떻게 나온걸까? ▲이번에는 정사각뿔의 밑면을 따로 가져와보자. 위 그림같이 선이 그어진다면 직각이.. 공감수 4 댓글수 0 2021. 12. 14.
공통외접선과 공통내접선의 길이 공식 및 증명하기 공통외접선과 공통내접선이란? 우선 공통외접선이 뭔지 공통내접선이 뭔지 알아보자. 공통외접선 : 두 원이 공통접선에 대하여 같은 쪽에 있는 접선을 말한다. 공통내접선 : 두 원이 공통접선에 대하여 반대쪽에 있을 때를 말한다. 사실 글로만 보면 이게 뭔소린가 싶은 사람들도 있을 것이다. 그림으로 보면 쉽게 뭔지 알 수 있다. 공통외접선과 공통내접선 길이 공식 및 증명하기 두 원의 중심사이의 거리와 각각 원의 반지름의 길이를 안다면 공통외접선 및 공통내접선의 길이를 구할 수 있다. 이건 공식으로 널리 알려져 있는데 공식은 아래와 같다. 원 O의 반지름을 r, 원 O'의 반지름을 r', d를 두 원의 중심사이의 거리라고 한다면 증명하기 증명하는 방법은 어렵지 않다. 공통외접선의 길이 공식 증명↓ 공통내접선의 길.. 공감수 1 댓글수 0 2021. 12. 7.
원뿔의 겉넓이와 부피 공식 및 증명하기 개요 원뿔은 많이 접하게 되는 입체 도형중 하나다. 문제에서도 상당히 단골로 나오는 도형이기도 하다. 이번 글에서는 원뿔의 겉넓이와 부피 공식을 차례대로 살펴보도록 하겠다. 원뿔의 겉넓이 공식 원뿔의 겉넓이는 결국 원뿔의 옆면 + 원뿔의 밑면의 값이다. 아래와 같은 원뿔이 주어진다면 겉넓이는 다음과 같이 말할 수 있다. 밑면은 결국 원의 넓이니까 그리 어려운 내용이 아니다. 원의 넓이 구하는 방법을 모르겠다면 원의 둘레(원주)와 원의 넓이 구하기←클릭 문제는 옆면의 넓이를 구하는 것이다. 원뿔의 옆면은 모선을 반지름으로 하는 부채꼴의 넓이라는 것을 알 수 있다. 그럼 여기서 부채꼴의 넓이를 구하는 방법을 잠깐 살펴보자. 부채꼴의 넓이 구하는 식에는 부채꼴의 반지름과 호의 길이가 포함되어있다. 이것을 원뿔.. 공감수 1 댓글수 0 2021. 11. 24.
부채꼴의 호의 길이와 부채꼴의 넓이 공식 및 증명하기 부채꼴의 호의 길이 공식 아래와 같은 부채꼴이 있을 때, 호의 길이는 다음과 같은 식으로 나타낼 수 있다. 부채꼴의 넓이는 다음과 같이 나타낼 수 있다. 증명하기 어쩌면 공식보다도 중요한 것이 호의 길이 공식, 부채꼴의 넓이 유도 과정이라고 생각된다. 유도 과정에서 쓰이는 내용이 꽤 복잡한 문제에서 의외로 활약하기 때문이다. 증명의 핵심은 호의 길이는 중심각의 크기에 비례하다는 것, 그리고 부채꼴의 넓이 또한 중심각의 크기에 비례한다는 것이다. 아니 이게 다라고 보면 된다. 아니 이게 다다. 우선 원주와 원은 넓이를 구하는 공식부터 알아야 한다. 원주와 원의 넓이를 구하는 방법은 아래 글을 참고하지. →원의 둘레(원주)와 원의 넓이 구하기 내용을 익혔다면 각도가 2π일때의 경우 비례식을 세우자. 각도가 .. 공감수 9 댓글수 0 2021. 11. 20.
외접원의 반지름의 길이를 알 때 삼각형의 넓이 구하기 외접원의 반지름의 길이를 알 때 삼각형의 넓이 다음 그림을 보자. 이 경우에 삼각형의 넓이는 아래와 같이 쓸 수 있다. 증명하기 이 공식을 증명하기 위해서는 2가지의 사전 지식이 필요하다. 1. 두 변과 그 끼인각을 알 때 삼각형의 넓이 공식 및 증명하기 2. 사인 법칙에 대하여 알아보고 증명하자 이 2가지를 알고 있다면 증명할 수 있다. 우선 두 변과 그 끼인각을 알 때의 넓이 공식부터 시작한다. 공감수 1 댓글수 0 2021. 11. 19.
사인 법칙에 대하여 알아보고 증명하자 사인법칙이란? 사인법칙은 삼각형과 외접원에서 적용시킬 수 있는 공식이다. △ABC의 세 각의 크기 A, B, C와 세 변의 길이 a, b, c 및 외접원의 반지름의 길이 R에서는 아래와 같은 식이 성립된다. 이를 사인법칙이라고 부르며, 경우에 따라 식을 조금 변형해서 쓰기도 한다. 코사인 법칙과 마찬가지로 삼각함수에서 상당히 많이 쓰이는 공식 중 하나이다. 증명하기 사인법칙 증명의 핵심은 어떠한 삼각형에서라도 성립이 된다는 것을 보여야 한다. 삼각형은 크게 예각삼각형, 둔각삼각형, 직각삼각형이 있으니 각각의 삼각형에서 사인법칙을 성립시킬 수 있다는 것을 보여주자. △ABC의 외접원의 중심을 O, 반지름의 길이를 R, 반지름선분BO의 연장선과 원 O의 교점을 A'라고 하면 선분BA=2R이 된다. 이제 삼각.. 공감수 10 댓글수 0 2021. 11. 18.
삼각함수의 덧셈정리와 증명하기 삼각함수의 덧셈정리란? 삼각함수의 덧셈정리... 상당히 많이 활용되는 공식이다. sin, cos, tan에 대하여 아래와 같이 말할 수 있다. 이때 α, β는 주어진 식의 각을 분해하여 특수각으로 나타낸다. 특수각에 관한 내용은 아래 글을 참고하자. 삼각함수 특수각의 삼각비의 값 삼각함수 특수각의 삼각비의 값 정말 많은 분야에서 쓰이는 삼각함수. 그 중에서도 많이 쓰이는 특수각의 삼각비의 값을 알아보자. 수학공부를 하는 사람이라면 윗 표 내용은 구구단외듯이 숙지하고 다니자. houseofj.tistory.com 증명하기 증명하는 방법은 여러 가지가 있지만 이번 글에서는 좌표평면을 이용하여 증명해보겠다. 아래의 그림을 보자. 그림처럼 좌표평면 위의 단위원과 x축의 양의 부분을 시초선으로 하는 각들, 단위원.. 공감수 1 댓글수 0 2021. 11. 15.
이등변삼각형 넓이 공식 및 유도 이등변삼각형 넓이 공식 아래 그림과 같은 삼각형을 보자. 두 변의 길이가 b로 같고 다른 한 변의 길이가 a인 이등변 삼각형이 있다. 이 경우 이등변삼각형 넓이 공식은 아래와 같이 쓸 수 있다. 이 공식은 대체 어떻게 나오는 걸까? 알아보도록 하자. 공식 유도하기 위 삼각형에서 높이만 알 수 있다면 밑 변의 길이를 곱해서 넓이를 구할 수 있다. 그렇다면 삼각형의 높이를 구해보자. 가운데 꼭지점에서 수직으로 선을 그으면 직각삼각형 하나가 만들어진다. 여기서 피타고라스의 정리를 사용하면 쉽게 높이를 구할 수 있다. 높이를 구해보자. 높이를 구했다. 삼각형의 넓이는 밑 변 X 높이 X 1/2 이므로 계산하면 공식이 완성된다. 거창한 말로 공식이라고 표현을 하지만 사실 그냥 정석적인 방법으로 삼각형을 높이를 구.. 공감수 2 댓글수 0 2021. 11. 13.
자취의 방정식에 대하여 알아보자. 자취의 방정식이란? 점의 자취란 일정한 조건에서 점이 움직일 때, 그 점의 집합 전체가 이루는 도형을 말한다. 그렇다면 자취의 방정식은 이 점의 자취를 표현한 방정식이라고 말할 수 있겠다. 위 좌표평면에 그어진 선의 방정식은 x=1이다. 이 선은 x의 좌표가 1인 선들의 집합이라고 말할 수 있다. 다시 말하면 이 선을 나타내는 방정식 x=1은 x의 좌표가 1인 점들의 자취라고 말할 수 있는 것이다. 자취의 방정식을 구하는 방법 자취의 방정식은 특정한 조건을 만족하는 점의 자취를 구하는 식이다. 대부분의 자취의 방정식을 구하는 방법은 다음 과정에 따른다. 어떤 조건을 만족하는 점의 자취를 구한다면..... ① 조건을 만족하는 점의 좌표를 P(x, y)로 둔다. ② 주어진 조건을 이용하여 x와 y의 관계식을.. 공감수 12 댓글수 0 2021. 11. 12.
점과 직선사이의 거리 공식 및 증명하기 점과 직선 사이의 거리 공식 점 P(x₁, y₁)에서 직선 ax+by+c=0까지의 거리를 d라고 둔다면 d는 다음과 같은 공식으로 구할 수 있다. 거의 뭐 구구단처럼 많이 쓰이는 공식이니 꼭 알아둬야한다. 참고로 이 공식은 a=0 또는 b=0일 때도 성립하는 공식이다. 즉 직선 l이 x축 또는 y축에 평행일 때도 성립하는 공식이다. 그러면 이제 왜 이런 공식이 나오는 건지 알아보자. 증명하기 뭐 직선, 도형 등 기하와 관련된 공식들중 상당수는 좌표평면상에서 증명할 수 있다. 점과 직선 사이의 거리 공식도 마찬가지다. 아래의 그림을 보자. 한 점 P에서 직선 l에 그은 수선의 발을 H라고 할 때, 점 P와 직선 l사이의 거리는 선분 PH의 길이라고 말할 수 있다. 그리고 다음과 같이 표현할 수 있다. 두 .. 공감수 3 댓글수 0 2021. 11. 11.
두 직선이 수직일 조건과 증명하기 두 직선이 수직일 조건 임의의 두 직선이 수직이 된다면 다음과 같은 식이 성립된다. 이 조건은 상당히 많은 문제에서 응용이 되는 내용이니 잘 알고 있어야 한다. 증명하기 많은 공식이 기하학적으로 접근하면 쉽게 증명할 수 있는 경우가 많다. 이 내용도 그러하다. 아래의 그림을 보자. 위 그림과 같이 원점을 지나고 서로 수직인 두 직선을 긋고 직선 x=1을 그으면 교점 P, Q가 만들어지고 위에 표시된 좌표를 가지게 된다. 그리고 삼각형 △POQ가 만들어지고 ∠POQ = 90° 이므로 피타고라스의 정리를 활용할 수 있다. 정리해보자. 이 내용은 증명과정 보단 결과가 이용되는 경우가 참 많으니 그냥 이렇게 증명할 수 있구나 정도로만 기억하고 넘어가자. ※같이 보기 피타고라스의 정리 증명하기 공감수 1 댓글수 0 2021. 11. 10.
직선의 방정식 공식 및 증명하기 개요 직선의 방정식은 일차함수로 이루어진 식이다. 간단한 함수이지만 이 직선의 방정식을 구하는 데는 여러 가지 공식이 있다. 문제에서 주어지는 조건에 따라 적용되는 직선의 방정식의 공식은 각각 다르다. 지금부터 어떠한 조건이 주어졌을때, 어떠한 공식을 적용시키면 되는지, 그리고 그 공식은 어떻게 나오게 된 것인지 증명을 해보도록 하겠다. 기울기가 m이고 한 점 A(x₁, y₁)을 지나는 직선의 방정식 이 경우에는 아래오 같은 공식으로 직선의 방정식을 구할 수 있다. 증명하는 방법은 아주 간단하다. 일반적인 직선의 방정식은 y=mx+n으로 표현할 수 있다. 이 식에다가 (x₁, y₁)를 집어넣어서 이쁘게 식을 정리해주면 증명은 끝난다. 우선 n을 고쳐서 정리해보자. 고쳐서 정리된 n을 다시 y=mx+n에 .. 공감수 0 댓글수 0 2021. 11. 9.

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